魏宗舒版概论.ppt

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1、6.3克拉默-拉奥（Cramer-Rao）不等式一、问题的提出二、复习无偏估计和一致估计三、有效估计四、小结一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准.二、复习无偏估计和一致估计(2)无偏估计的实际意义:无系统误差.(1)无偏性是对估计量的一个基本而重要的要求.如果有的一列估计,满足关系式则称是的渐近无偏估计（量）。一个估计量如果不是无偏估计量，就称这个估计量是有偏的，且称为估计量的偏差。证明例1特别地:证明例2(这种方法称为无偏化).证明

2、例3证明例40,,,1/又设其中参数其它度概率密的指数分布服从参数为设总体>qïîïíì>q=qqq-,00,1);(xxexp由以上两例可知,同一个参数可以有不同的无偏估计量.无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准,而且在许多场合是合理的,必要的。然而有时一个参数的无偏估计可能不存在，或不合理的。这些说明仅有无偏性要求是不够的。于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小。表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏计。2.如例4有时对同一个参数可有多个无偏

3、估计.1.例:设总体,则就没有无偏估计。三、有效估计由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好.证明例5(续例4)证明练习(续例3)（课本例6.10）下面讨论建立一个方差下界的罗-克拉美不等式注（1）称满足上述两个正则条件（1）和（2）的估计量为正规估计。（2）罗-可拉美不等式所规定的下界不是整个无偏估计类的下界，而是无偏估计类的一个子集——正规无偏估计类的下界。对于方差达到罗-可拉美不等式所规定的下界的估计，给它名称如下：复习一致估计有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量n充分大时，估计量能

4、在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性（或一致性）概念。定义6.1设是未知参数估计序列，如果依概率收敛于，即对任意，有定理（补充）设是的一个估计量，若或则称是的一致估计量（相合估计）。且则是的一致估计（相合估计）。证明：由于令且由定理的假设，得即是的一致估计例（补充）若总体的和存在,则样本均值是总体均值的相合估计.解：一般地,样本的k阶原点矩是总体的k阶原点矩的一致估计.由此可见,矩估计往往是一致估计.六、小结估计量的评选的三个标准无偏估计最小方差无偏估计相合估计相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的.

5、由最大似然估计法得到的估计量,在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.