人教版高中数学选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数.ppt

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1、函数的单调性与导数首先我们回忆一下函数的单调性的概念和导数的几何意义.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈D且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数；若f(x)在D上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在D上具有严格的单调性。D称为单调区间D=(a,b)二、复习引入:yx0abc观察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高

2、点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果恒有，则是常数。例1已知导函数的下列信息:当14,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:当1

3、4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14题型一：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23ABxyo23题型一：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：试画出函数图象的大致形状。分析：ABxyo23题型一：应用导数信息确定函数大致图象解：的大致形状如右图：xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)高考试练习：尝设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是(

4、)题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.题型二判断函数的单调性,并求出单调区间:练习课本判断下列函数的单调性,并求出单调区间:总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳①求定义域②求③令④作出结论1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归总结：1.导数求单调区间首先要确定函数的

5、定义域2单调区间不能用“∪”联系，而只能用“，”隔开注意高考试Bxyo练习尝例3（课本）如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.练习函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状题型三分类讨论单调性1.讨论二次函数的单调区间.解:由,得,即函

6、数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是2.报纸平行练习3.导学案P157展题一（14全国大纲）4.导学案P159（14广东）5.（15年江苏）已知函数例1求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数题型四证明函数的单调性及不等式证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)；(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号(3)作出结论题型五、求参数的取值范围例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增例2：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递

7、减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证增例2：本题用到一个重要的转化：3：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。题型六：方程根的问题求证：方程只有一个根。