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时间:2020-06-26
《【南方新课堂】2020高考新课标数学(文科)二轮专题复习检测 专题五第3讲圆锥曲线的综合问题 含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题一、选择题1.(2015·湖南卷)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.解析:由双曲线的渐近线过点(3,-4)知=,∴=.又b2=c2-a2,∴=,即e2-1=,∴e2=,∴e=.答案:D2.(2016·衡水模拟)已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则
2、PA
3、+
4、PB
5、的最大值为( )A.3B.4C.5D.15解析:在椭圆中,由a=5,b=4,得c=3,故焦点为(-3,0)和(3,0),点
6、B是右焦点,记左焦点为C(-3,0).由椭圆的定义得
7、PB
8、+
9、PC
10、=10,∴
11、PA
12、+
13、PB
14、=10+
15、PA
16、-
17、PC
18、,∵
19、
20、PA
21、-
22、PC
23、
24、≤
25、AC
26、=5,∴当点P,A,C三点共线时,
27、PA
28、+
29、PB
30、取得最大值15.答案:D3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且
31、MF
32、=4
33、OF
34、,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )A.y2=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=x解析:依题意,设M(x,y),∵
35、OF
36、=,∴
37、MF
38、=2p,即x+=2p,解得x=,y=p,又△MFO
39、的面积为4,∴××p=4,解得p=4,∴抛物线方程为y2=8x.答案:B4.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0,若x0>1,则双曲线C的离心率e的取值范围是( )A.B.(,+∞)C.(1,)D.解析:双曲线C:-=1的一条渐近线为y=x,联立消去y,得x2=x.由x0>1,知<1,b240、)(导学号53130136)A.B.C.D.∪解析:由已知可得直线l的方程为y=kx+,与椭圆的方程联立,整理得x2+2kx+1=0,∵直线l与椭圆有两个不同的交点,∴Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.答案:D6.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为( )(导学号53130137)A.(0,1)B.(0,2)C.(2,0)D.(1,0)解析:设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y′=x,41、则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=-x1x-y1,.同理,在点B处的切线方程为y=-x2x-y2,又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,代入得-2=-x1t-y1,-2=-x2t-y2,这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=-xt-y,即直线AB的方程为y-2=-tx,因此直线AB恒过点(0,2).答案:B二、填空题7.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,则弦42、MN43、的长为________.解析:由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关44、系,得xM+xN=,xM·xN=-.由弦长公式45、MN46、=47、xM-xN48、=×==.答案:8.(2016·山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且249、AB50、=351、BC52、,则E的离心率是________.解析:由已知得53、AB54、=55、CD56、=,57、BC58、=59、AD60、=61、F1F262、=2c.∵263、AB64、=365、BC66、,∴=6c,2b2=3ac.∴=,则2(e2-1)=3e.又e>1,解得e=2.答案:29.(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,动点Q在C上,67、圆Q的半径为1,过点F的直线与圆Q切于点P,则·的最小值为________.解析:如图,·=68、69、2=70、71、2-1.由抛物线的定义知:72、73、=d(d为点Q到准线的距离),易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,∴74、75、min=2,∴·的最小值为3.答案:3三、解答题10.(2016·珠海调研)如图,椭圆E:+=1(a>b>0),经过点A(0,-1),且离心率为.(导学号53130138)(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解:由题设76、知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设
40、)(导学号53130136)A.B.C.D.∪解析:由已知可得直线l的方程为y=kx+,与椭圆的方程联立,整理得x2+2kx+1=0,∵直线l与椭圆有两个不同的交点,∴Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,即k的取值范围为∪.答案:D6.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为( )(导学号53130137)A.(0,1)B.(0,2)C.(2,0)D.(1,0)解析:设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y′=x,
41、则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=-x1x-y1,.同理,在点B处的切线方程为y=-x2x-y2,又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,代入得-2=-x1t-y1,-2=-x2t-y2,这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=-xt-y,即直线AB的方程为y-2=-tx,因此直线AB恒过点(0,2).答案:B二、填空题7.已知直线l过椭圆8x2+9y2=72的一个焦点,斜率为2,l与椭圆相交于M、N两点,则弦
42、MN
43、的长为________.解析:由得11x2-18x-9=0.由根与系数的关
44、系,得xM+xN=,xM·xN=-.由弦长公式
45、MN
46、=
47、xM-xN
48、=×==.答案:8.(2016·山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2
49、AB
50、=3
51、BC
52、,则E的离心率是________.解析:由已知得
53、AB
54、=
55、CD
56、=,
57、BC
58、=
59、AD
60、=
61、F1F2
62、=2c.∵2
63、AB
64、=3
65、BC
66、,∴=6c,2b2=3ac.∴=,则2(e2-1)=3e.又e>1,解得e=2.答案:29.(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,动点Q在C上,
67、圆Q的半径为1,过点F的直线与圆Q切于点P,则·的最小值为________.解析:如图,·=
68、
69、2=
70、
71、2-1.由抛物线的定义知:
72、
73、=d(d为点Q到准线的距离),易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,∴
74、
75、min=2,∴·的最小值为3.答案:3三、解答题10.(2016·珠海调研)如图,椭圆E:+=1(a>b>0),经过点A(0,-1),且离心率为.(导学号53130138)(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.(1)解:由题设
76、知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设
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