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《2020一轮北师大版(理)数学教案 第8章 第7节 双曲线含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节 双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单的几何性质.3.了解双曲线的简单应用.4.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于
2、F1F2
3、)的点的集合叫作双曲线,定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.(2)集合P={M
4、
5、
6、MF1
7、-
8、MF2
9、
10、=2a},
11、F1F2
12、=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.①当2a<
13、F1F2
14、时,M点的轨迹是双曲线
15、;②当2a=
16、F1F2
17、时,M点的轨迹是两条射线;③当2a>
18、F1F2
19、时,M点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≤-a或x≥a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞),其中c=a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4),F2
20、(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )(3)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(教材改编)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.C.D.1D [依题意,e===2,∴=2a,则a2=1,a=1.]3.(2017·福州质检)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且
21、PF
22、1
23、=3,则
24、PF2
25、等于( )【导学号:57962406】A.11B.9C.5D.3B [由题意知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义
26、
27、PF1
28、-
29、PF2
30、
31、=
32、3-
33、PF2
34、
35、=2a=6,∴
36、PF2
37、=9.]4.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)A [∵原方程表示双曲线,且两焦点间的距离为4.∴则因此-10,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的
38、直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=__________.2 [双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,易得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性知=1.又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2=8,因此a=2.]双曲线的定义及应用 (2015·全国卷Ⅰ改编)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).则△APF周长的最小值为__________.32 [由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F1(-3,0),当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知
39、PF
40、-
41、
42、PF1
43、=2.所以
44、PF
45、=
46、PF1
47、+2,从而△APF的周长=
48、AP
49、+
50、PF
51、+
52、AF
53、=
54、AP
55、+
56、PF1
57、+2+
58、AF
59、.因为
60、AF
61、==15为定值,所以当(
62、AP
63、+
64、PF1
65、)最小时,△APF的周长最小,A,F1,P三点共线.又因为
66、AP
67、+
68、PF1
69、≥
70、AF1
71、=
72、AF
73、=15.所以△APF周长的最小值为15+15+2=32.][规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题:在双曲线的定义中,要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点
74、的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.2.在焦点三角形中,注意定义、余弦定理的活用,常将
75、
76、PF1
77、-
78、PF2
79、
80、=2a平方,建立
81、PF1
82、·
83、PF2
84、间的联系.[变式训练1] 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若
85、F1A
86、=2
87、F2A
88、,则cos∠AF2F1=( )A.B.C.D.A [由e==2得c=2a,如图,由双曲线的定义得
89、F1A
90、-
91、F2A
92、=2a.又
93、F1A
94、=2
95、F2A
96、,故
97、F1A
98、=4a,
99、F2A
100、=2a,∴cos∠AF2F1==.]双曲线的标准方程 (1)(2017·广州模拟)已知双曲线C:-=1的离
101、心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )【