【课堂新坐标】2013届高三数学一轮复习 第二章第十二节课时知能训练 理 （广东专用）.doc

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1、课时知能训练一、选择题1．f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，且a2＜3b，则(　　)A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．f(x)在R上不是单调函数D．f(x)是常数【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当a2＜3b时，Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)＜0.∴f′(x)＞0恒成立．f(x)在R上是增函数．【答案】　A2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D．1【解析】　

2、y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.则x1·x2·…·xn＝··…·＝.【答案】　B3．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为(　　)A．－2＜m＜2B．－2≤m≤2C．m＜－2或m＞2D．m≤－2或m≥2【解析】　y′＝3(1－x)·(1＋x)由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2＜m＜2.【答案】　A4．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－3所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为(　　

3、)图2－12－3A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】　(1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，∴f′(x)＞0，因此x＜0，∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)．(2)当－1＜x＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0.由x·f′(x)＜0，得x＞0，∴0＜x＜1.4用心爱心专心故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．【答案】　A5．已知函数y＝(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则f(1

4、)与ef(0)的大小关系是(　　)A．f(1)＜ef(0)B．f(1)＞ef(0)C．f(1)＝ef(0)D．不能确定【解析】　令g(x)＝，则g′(x)＝＝＞0，则函数g(x)在R上单调递增，所以有g(1)＞g(0)，即＞，所以可得f(1)＞ef(0)．【答案】　B二、填空题6．电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为______．【解析】　由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或40，由于0＜x＜40时，y′＜0；当x＞40时，y′＞0.所以当x＝40时

5、，y有最小值．【答案】　407．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)与f(2)的大小关系是________．【解析】　f′(x)＝x·cosx＋sinx－sinx＝xcosx.当x∈(，π)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(，π)上递减，∴f(2)＞f(3)．由f(x)是偶函数，得f(－3)＝f(3)，∴f(2)＞f(－3)．【答案】　f(2)＞f(－3)8.已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是________．【解析】　依题意知，x＞0，f′(x)＝，令g(x)＝2x2＋mx＋

6、1，x∈(0，＋∞)，当－≤0时，g(0)＝1＞0恒成立，∴m≥0成立，当－＞0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m＜0，综上，m的取值范围是m≥－2.【答案】　m≥－2三、解答题9．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．【解】　(1)Q＝P·＝(v4－v3＋15v)

7、·4用心爱心专心＝(v3－v2＋15)·400＝－v2＋6000(0＜v≤100)．(2)由(1)知，Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0＜v＜80时，Q′＜0；当80＜v≤100时，Q′＞0.∴当v＝80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，又函数在(0,100]内有唯一极小值，也就是最小值．故运输成本的最小值为Q(80)＝(元)．10．f(x)＝x3－x2－x＋a，当a在何范围内取值时，y＝f(x)与x轴仅有一个交点．【解】　令f′(x)＝3x2－2x－1＝0，得x＝－，x＝1，当x变化时，f′(x)

8、与f(x)的变化情况如下：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值可知f(－)＝＋a为极大值，f(1)＝a－1为极小值．①当＋a＜0，即a∈(－∞，－)时，y＝f(x)与x轴仅有一个交点；②当a－1＞0，即a∈(1，＋∞)时，y＝f