函数的单调性与极值理.ppt

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1、§5.4函数的单调性与极值函数y=f(x)的图象有时上升,有时下降.如何判断函数的图象在什么范围内是上升的,在什么范围内是下降的呢？一、函数单调性判别法f(x)>0f(x)<0观察结果函数单调增加时导数大于零函数单调减少时导数小于零观察与思考函数的单调性与导数的符号有什么关系？定理1（函数单调性的判别法）设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上严格单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上严格单调减少由拉格朗

2、日中值公式有f(x2)f(x1)=f(x)(x2x1)(x10x2x1>0所以f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)>0即f(x1)

3、[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上严格单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上严格单调减少例1求函数yx+sinx的单调区间函数单调性的判别法设函数f(x)在[ab]上连续在(a,b)内可导(1)如果在(ab)内f(x)>0则f(x)在[ab]上严格单调增加(2)如果在(ab)内f(x)<0则f(x)在[ab]上严格单调减少解函数的定义域为Rf(x)1+cosx≥0故f(x)在R上单调

4、增加但f(x)1+cosx=0仅当x=(2k1)πk∈Z时成立，即f(x)的驻点不填满任何区间故f(x)在R上的严格单调增加说明一般地如果f(x)在某区间内的有限个点处为零在其余各点处均为正(或负)时那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或减少)的讨论函数yx3的单调性解函数的定义域为()y3x2显然当x0时y0;当x0时y>0因此函数yx3在区间(0]及[0,)内严格单调增加从而函数在整个定义域()内严格单调增加例21设函数yf(x)

5、在[ab]上连续在(ab)内可导x1x2是f(x)的两个相邻的零点问f(x)在[x1x2]上是否单调？讨论结论：由单调性判别法可知f(x)在[x1x2]上一定单调。2.设函数yf(x)在[ab]上连续在(ab)内可导x1x2是f(x)的两个相邻的零点问f(x)在(x1x2)内符号如何判断？结论：只要求出(x1x2)内某一点的符号，即可知f(x)在(x1x2)内符号3如何把区间[ab]划分成一些小区间使函数f(x)在每个小区间上都是单调的？结论：解出使f(x)=0的点，以这些点

6、为分界点划分[ab]xf(x)f(x)例3确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间解这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点为x11、x22列表分析函数f(x)在区间(1]和[2)内单调增加在区间[12]上单调减少(1)(12)(2)↗↘↗＋－＋y2x39x212x3解函数的定义域为()所以函数在[0)上单调增加因为x>0时y>0所以函数在(0]上单调减少因

7、为x<0时y<0例4说明导数不存在的点也可作为分界点(1)确定函数的定义域(2)求出f(x),令f(x)=0，求出方程的根及一阶导数不存在的点作为分界点(3)用分界点把定义域分成若干个开区间(4)判断或列表判断f(x)在各个开区间上的符号，由单调性判别法可确定单调区间确定函数单调区间的步骤求函数yx3(1x)的单调区间xf(x)f(x)函数f(x)在区间(]内单调增加在区间[）上单调减少练习1：(0)(0)()＋－＋↗↘↗f(x)=3x24x3=x2(34x)令

8、f(x)=0，列表分析解得x=0，x=解：定义域为()解设函数f(x)=exx1因此只需证：当x≠0时，f(x)>0例5求证当x≠0时ex>1+xxf(x)f(x)求导数f(x)ex1列表判断：又因f(0)=0所以x≠0时，f(x)>0即ex