函数的单调性与极值理(I)

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1、第二节函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值一、函数的单调性从几何图形上来分析abxyo都是锐角，即斜率是上升的。如果曲线在内所有切线的倾斜角时，那么曲线在可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当时，曲线在内是下降。我们有如下定理：定理1设函数在上连续，在区间内可导，（1）如果在内，则在上单调增加；上单调减少。（2）如果在内，则在注意：（1）将定理中的闭区间换成其他各种区间定理的结论仍成立。单调增加的充分条件，而不是必要条件。（2）在内，只是在上考察函数，但等号只在个别处成立，（3）如果在区间内（或）仍是单调增加（或单调减少）的。则函数在上考

2、察函数例1判定函数的单调性。解的定义域是。在区间和都有，只有当时，，所以在内单调减少。例2求函数的单调区间。解的定义域是令，得，它们将定义域当时，当时，。所以的单调增加区间是和；单调递减区间是例3确定函数的单调区间。解的定义域是分成三个区间令，得，又处导数不存在，，这两点将分成三个区间，列表分析在各个区间的符号：由表可知，的单调增加区间为和，单调减少区间为。二、函数的极值设函数在点的某邻域内有定义，1定义（1）如果对该领域内的任意点，都有，则称是的极大值，称是的极大值点。（2）如果对该领域内的任意点，都有，则称是的极小值，称是的极小值点。函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小致

3、点统称为极值点。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxy2极值存在的必要条件和充分条件定理2（极值的必要条件）如果函数在点处可导，且在点取得极值，则。定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。使的点称为函数得驻点。反过来，驻点不一定是极值点。考察函数另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。考察函数定理3（极值的第一充分条件）设函数在点连续，且在点的某一空心邻域内可导。（1）如果在内，在内，则函数在点处取极大值；（2）如果在内，在内，则函数在点处取极小值；（3）如果在和内不变号，则在处无极值。定理3即：设在点的某一空心邻域内可导，当有小

4、增大经过时，如果由正变负，则是极大值点；如果由负变正，极小值点；如果则是不变号，则不是极值点。例4求函数的极值。解的定义域是令，得驻点。当时，当时，当时，。在处取得极小值例5求函数的极值。解的定义域是令，得驻点，而时不存在。由定理3知，在处取得极大值。因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：极大值1极小值不存在由表可知，在处取得极大值，在处取得极小值。函数的图形如图函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。01x1y定理4（极值的第二充分条件）设函数在点处有二阶导数，且，，则（1）如果，则在取得极大值；（2）如果，则在取得极小值。例6求函数的极值。解的

5、定义域是令，得到两个驻点。由定理4可知，都是的极小值点，为函数的极小值。又函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，最小的就是函数在上的最小值。注意下述三种情况：（1）如果在上是单调函数；三、函数的最值1闭区间[a，b]上的连续函数（2）如果连续函数在某区间内只有一个极大（小）值，而无极小（大）值；（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例7求函数在区间上的最大值与最小值。解比较可知，在上

6、最大值为，最小值为例9将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为得驻点:令，令，得（舍去）。又所以函数在处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时，所做的方盒容积最大。ax方盒的容积为：例10制作一个容积为的圆柱形密闭容器，怎样设计才能使所用材料最省？解如图，设容器的底面半径为，高为，则表面积为所以令，得驻点hr由已知得故所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。例11一工厂A与铁路的垂直

7、距离为，垂足B到火车站C的铁路长为，要在BC段上选一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运费之比为3：5，问M选在离C多少公里处，才能使从A到C的运费最少？S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时解设,则设铁路、公路上每公里运费分别为从A到C需要的总运费为，则令，得（舍去）。因为是在区间[0,b]上的唯一驻点，而实际问题中存在最小值，因而是最小值点，因此，M选在离C点距离为处时总运费最省。例12工厂生产某产品