苏州市2015届高三数学必过关题3函数.doc

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1、高三必过关题3函数（3）一、填空题例1一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为米/秒．答：5提示：，当时，．∴物体在时的瞬时速度为5米/秒．例2水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率是．答：提示：设时间对应的水波圆的半径为，面积为，则，且当时，．故有．例3已知函数的导函数为，且满足，则．答：提示：，令得，∴．例4曲线在点处的切线的斜率为.答：提示：∵，∴当时，．∴曲线在点处的切线斜率为．例5已知函数，过点作曲线的切线，则切线方程是．答：或提示：，设切点为，则斜率，∴切线方程为，即．

2、∵切线过点，∴或．∴所求切线方程是或．例1若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则．[答：提示：，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得．例2函数的单调减区间为．答：提示：，令，得．∴函数的单调减区间为．例3函数在上的单调增区间是．答：提示由及得．例1若函数在内单调递减，则实数a的取值范围为_______．答：提示：∵函数在内单调递减，∴在内恒成立．即在内恒成立．∵在上的最大值为，∴．例2函数在处取得极小值.答：2提示：，令，得或．当时，；当时，；当时，．∴函数在处取得极小值．例3已知函数在处有极值，则

3、．答：提示：由已知得即解得经检验：当时，不是极值点，舍去；当时，符合题意．∴．例4若，且函数在处有极值，则的最大值等于．答：9提示：，∵在处有极值，∴，即，化简得．∵，∴，当且仅当时，有最大值，最大值为9．例1函数(为常数)在上有最大值3，则此函数在上的最小值是．答：提示　∵，∴在上为增函数，在上为减函数，∴当时，最大，∴，从而，．∴的最小值为．例2函数的值域是．答：提示：，令，得，．当时，；当时，；当时，．∴函数在处取极大值，在处取极小值．又，，∴函数的值域是．例3若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是．答：提示：，令得

4、．当时，；当时，；当时，．函数在处取得极大值，在处取得极小值．要使函数有3个不同的零点，只需两个极值异号即可，∴，即，．例1若，则函数在区间上恰好有个零点．答：1提示：，由于，故当时，即函数在区间上单调递减，又当时，故据二分法及单调性可知函数在区间上有且只有一个零点．例2已知函数的图像在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是．答：提示：由题意知，点在函数的图像上，故①，又，则，故②，由①②解得，即．令，解得．则，故，所以．例3函数的定义域为，，对任意，，则的解集为．答：提示：设，则．∴是R上的增函数．又

5、，∴．例4设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为．答：提示：由题设得．设，则，令，解得．当时，；当时，．∴当时，取得极小值，且是最小值．∴．例1已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是．答：提示：∵，∴.∵恒成立，∴只要存在，使成立．∴．令，，对于u=x+2-2lnx，，在恒成立，所以在上为增函数，.所以．二、解答题例2设的导数满足，其中常数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值．解：（1），则，∴．又，解得．∴，从而．故曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知，∴．令，得．当时，；当时，；

6、当时，．∴函数在处取得极小值，在处取得极大值．例1设函数，．（1）求的单调区间；（2）求所有的实数，使对恒成立．解：（1），由于，所以的增区间为，减区间为．（2）由题意得，由（1）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得．例2设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（1）．当时，的最大值为．令，得．所以当时，在上存在单调递增区间.即在上存在单调递增区间时，的取值范围是．（2）令，得两根，，所以在，上单调递减，在上单调递增．当时，有，所以在上的最大值为．又，即．所以在上的最

7、小值为，得，，从而在上的最大值为.例1某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元．（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的．解：（1）由题意可知，即，则．容器的建造费用为，即，定义域为．（2），令，得．令，得，①当时，，当时，，函数单调递减，∴当时有最小值；②当时，，当

8、时，；当时，，∴当时有最小值．综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时．例1设函数．（1）当时，求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求实数的取值范围.解：（1）当时，＝，∴当时，.当时，＝，∵函数在上单调递增∴.由得，又，∴．∴当时，；当