苏州市2015届高三数学必过关题7平面向量.doc

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1、高三必过关题7平面向量一、填空题例1给出下列命题,其中不正确的序号是．①0=0；②对于实数m和向量（m∈R），若，则；③若0，，则；④对任意向量都成立；⑤对任意向量，有．答案：①②③④例2与=(3,－4)平行的单位向量是_________；答案：(，－)或(－，)．例3平面向量与的夹角为60°，，则答案：．ABCDE例4已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量与向量垂直，则k=_______答案:.例5如图，正方形ABCD内有一个正，设，则等于．（用、表示）答案：．例6定义是向量a和b的“向量积”，它的长度其中为向量和的夹角，若则=．答案：．例7如图，在△ABC中，=，

2、P是BN上的一点，若=m+，则实数的值为___________.解析：CNMQPBA,设则，例8.已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.答案:5例9如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为．解析：设，，则，由平行四边形法则，知NP∥AB，所以＝，同理可得，故．DCAB例10如图，在中，是边上一点，则．解析：=．例11设函数，为坐标原点，为函数图像上横坐标的点，向量，设的夹角，则．解析：，即为向量与x轴的夹角，所以，所以．例12已知，且关于x的函数在R上有极值，则与的夹角范围为．解析：在R上有极值

3、方程＝0在R上有两个不同的实数根，则，设向量的夹角为，则，所以．例13已知、、是直线上的不同的三点，是外一点，向量、、满足：，记，则函数的解析式为．解析：，∴．又、B、C在同一条直线上，∴，∴．即．例14已知是锐角的外接圆的圆心，且，若，则=。（用表示）解析即是，已知等式两边同乘以，可得在中，，因此上式即为，即例15若，，均为单位向量，且，（-）·（-）≤0，则

4、+-

5、的最大值为.解析:由（-）·（-）≤0，得，又且，，均为单位向量，得，

6、+-

7、2=（+-）2==，故

8、+-

9、的最大值为1.例16如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径O

10、C上的动点，则的最小值为．解析：，设．例17定义，其中是△内一点，、、分别是△、△、△的面积，已知△中，，，，则的最小值是．解析：由，则，从而，所以，当且仅当时取等号．例18如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是．解析：以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立直角坐标系，设N（x，y）则，，则因为，由线性规划的知识可得．例19在中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是．解析：,==。又,=,于是的最小值是-2例20已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值是.解析：，设，则，，由

11、此可得关于的函数解析式，再由基本不等式可求的最小值．若设则运算较复杂。二、解答题例21已知，其中．（1）求证：与互相垂直；（2）若与（）的长度相等，求．解析：（1）因为，所以与互相垂直．（2）∵

12、

13、＝

14、

15、，∴

16、

17、2＝

18、

19、2，展开可得＝0．∵，∴，又∵，∴．例22已知向量．(1)若△为直角三角形，求k值；(2)若△ABC为等腰直角三角形，求k值．解析：(1)，若，则；若，则无解；若，则，综上所述，当时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；当时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．(2)当k=1时，；当时，；当时，．综上所述，当k=1时，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形

20、．例23已知向量，，其中O为坐标原点．（1）若，求向量与的夹角；（2）若≥对任意实数都成立，求实数的取值范围．解析：（1）设向量与的夹角为，则，当时，，；当时，，．故当时，向量与的夹角为；当时，向量与的夹角为．（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以或，解得或．故所求实数的取值范围是∪．　　　　另解：由，可得的最小值为，然后将已知条件转化为，由此解得实数的取值范围．例24如图中，是以为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：与的夹角为何值时，有最大值和最小值．解析：∵，∴，当，即时，；当，即时，．ABCEFMN例25如图，在边长为1的正三角形中，分别是边上的

21、点，若，．设的中点为，的中点为．⑴若三点共线，求证；⑵若，求的最小值．解析：⑴由三点共线，得，设（R），即，所以，所以．⑵因为＝，又，所以，所以＝，故当时，．例26在中，（1）若为直线上一点，且，求证：；（2）若，，且为线段上靠近的一个三等分点，求的值；（3）若，，且，，，…，为线段的个等分点，求的值．解析：（1）由，得，即，因为，所以；（2），因为，，所以．由于为线段上靠近的一个三等分点，故，所以．（3）======．