高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射学案 新人教A版必修.doc

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1、第2课时　分段函数及映射[学习目标]　1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．[知识链接]1．函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线．[预习导引]1．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．映射的概念映

2、射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．要点一　分段函数求值例1　已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．解　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.∵f＝－＋1＝－，而－2<－<2，∴f[f(－)]＝f＝2＋

3、2×＝－3＝－.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.规律方法　1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段

4、解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．跟踪演练1　已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)A．0B.C．1D．2答案　C解析　f(2)＝＝1.要点二　分段函数的图象及应用例2　已知f(x)＝(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．规律方法　1.分

5、段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．跟踪演练2　作出y＝　的图象，并求y的值域．解　y＝　值域为y∈[－7,7]．图象如下图．要点三　映射的概念例3　以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映

6、射？(1)集合A＝{P

7、P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P

8、P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)

9、x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x

10、x是三角形}，集合B＝{x

11、x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x

12、x是新华中学的班级}，集合B＝{x

13、x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．解　(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数

14、与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．规律方法　映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地

15、从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪演练3　下列对应是从集合M到集合N的映射的是(　　)①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝