高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例教学案 新人教A版选修.doc

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1、3.4生活中的优化问题举例第1课时　变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P101～P104的内容，回答下列问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛500ml溶液的圆柱形易拉罐．(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．(2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋(x＞0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可．2．归纳总结，核心必记(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问

2、题通常称为优化问题．(2)解决优化问题的基本思路[问题思考]在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．[课前反思](1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；(2)解决优化问题的基本思路是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．讲一讲1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为

3、O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．[尝试解答]　(1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．则S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(

4、2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此时θ＝.当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：所以，当θ＝时，S取得最大值Smax＝3750m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面

5、积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．练一练1．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装

6、盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．　由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.讲一讲2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造

7、隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[尝试解答]　(1)由题设，隔热层厚度为xcm，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与2

8、0年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－，