高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教a版选修1-1(2)

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1、3.4　　　生活中的优化问题举例【课标学习目标】了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用，并能正确利用导数这一工具求出最大(小)值．[情景引入]寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象．像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服．在人们的日常生活中，最优化无处不在，刷牙时会发现，牙膏的包装有大有小．其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？吃东西时，想过营养成分的搭配吗？开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的题目吗？开、关窗户时，想过窗户的面积与

2、采光量的题目吗？总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不探求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等．【课前预习】1．求利润最大、用料最省，效率最高问题，这些问题通常称为________．2．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法和注意问题：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式________，根据实际问题确定y＝f(x)的________．(2)求f′(x)，解方程________，得出所有实数根．(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的

3、大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．应注意的问题：①求实际问题的最大(小)值时，要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值就应舍去．②在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的________．【题型探究】【例1】用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解析】设容器高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－

4、2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．求V(x)的导数，得V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.【评析】在实际问

5、题中如果可以判定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大(小)值，这一点在解决实际问题中很有用．【例2】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【解析】根据题意可知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则∵BD＝40，AC＝

6、50－x，∴BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)．y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.当00.因此函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20km.∴供水站建在A，D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．【评析】(1)本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．(2)根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系，这是解决本题的方法和技巧．例3某单位用木料制作

7、如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少(精确到0.001m)时M用料最省？【分析】用料最省问题最终转化为所列函数的最小值问题．【解析】　依题意，有xy＋·x·＝8，所以y＝＝－(00，所以当x＝8－4时，l取得最