高中数学 第二章 平面向量 2.1.3 向量的减法学案 新人教B版必修.doc

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1、2．1.3　向量的减法[学习目标]　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．[知识链接]1．a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？答　与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0.－a的相反向量是a即－(－a)＝a，规定：零向量的相反向量仍是零向量．2．我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？答　向量的减法也有类似法则，定义a－b＝a＋(－b

2、)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．3．向量减法的三角形法则是什么？答　当把两个向量a，b的始点移到同一点时，它们的差向量a－b可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a与b)的终点；②差向量a－b的方向指向被减向量的终点．这种求差向量a－b的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．[预习导引]1．相反向量我们把与向量a长度相等且方向相反的向量称作是向量a的相反向量，记作－a，并且有a＋(－a)＝0.2．向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，

3、叫做向量的减法．3．向量减法的平行四边形法则以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则对角线的向量＝b－a，＝a－b.4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量.要点一　向量加、减法的基本运算例1　化简：(1)－－；(2)(－)－(－)．解　(1)方法一　－－＝－＝.方法二　－－＝－(＋)＝－＝.方法三　－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝＋＝.(2)方法一　(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.方法二　(－)－(－)＝－－＋＝(－)－(－

4、)－(－)＋(－)＝－－＋－＋＋－＝0.方法三　(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.规律方法　利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量，如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量．跟踪演练1　化简：(1)－＋－；(2)＋＋－.解　(1)－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.(2)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.要点二　用已知向量表示其他向量例2　如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示；(2)用b，c表示；(3)用a，b，e表示；(4)用d，c表示.解　由题意知，＝a，＝

5、b，＝c，＝d，＝e，则(1)＝＋＋＝d＋e＋a.(2)＝－＝－－＝－b－c.(3)＝＋＋＝a＋b＋e.(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.规律方法　(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．跟踪演练2　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.解　∵四边形ACDE为平行四边形，∴＝＝c，＝－＝b

6、－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，∴＝＋＝b－a＋c.要点三　向量加、减法的综合应用例3　已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：＋＝＋.证明　方法一　如图，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，∴＝－－－＝＋＋.①在四边形ABFE中，＋＋＋＝0，∴＝＋＋.②①＋②得＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)．∵E、F分别是AD、BC的中点，∴＋＝0，C＋＝0.∴＋＝＋.方法二　如图，在平面内取点O，连接AO、EO、DO、CO、FO、BO，则＝＋＝＋＋＋，＝＋，＝＋＝＋＋＋＋＋.∵E、F是AD、BC的中点，∴＝，＝.∴

7、＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋＋＋)＝＋(＋)＝＋.规律方法　(1)本例用向量的加减运算解决，而不必考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点．(2)本结论可以看作梯形中位线定理的推广．跟踪演练3　已知非零向量a、b满足

8、a

9、＝＋1，

10、b

11、＝－1，且

12、a－b

13、＝4，求

14、a＋b

15、的值．解　设＝a，＝b，则

16、

17、＝

18、a－b

19、.以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则

20、

21、＝

22、a＋b

23、.∵(＋1)2＋(－1)2＝42，∴

24、

25、2＋

26、

27、2＝

28、

29、2.∴OA⊥OB.∴平行四边形OACB是矩形．∵矩形的对角线相等，∴

30、

31、＝

32、

33、

34、＝4，即

35、a＋b

36、＝4.1．已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB＝60°，则＋的模为(　　)A．aB．2aC.aD.a答案　D2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)A.－＝0B.－＝C.－＝D.＋＝0答案　C解析　∵＝，∴－＝0，A