高二数学 双曲线的几何性质教案1.doc

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1、2.3.2　双曲线的几何性质教学目标：1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．教学重点：双曲线的几何性质及初步运用．教学难点：双曲线的渐近线．教学过程：一、复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．二、类比联想得出性质（范围、对称性、顶点）引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格：三、渐近线双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x，y的变化趋势看，双曲线

2、与直线具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系．双曲线在第一象限的部分可写成：．设是它上面的点，设点N是直线上与有相同横坐标的点，则．设MQ是点M到直线的距离，则有．当x逐渐增大，并趋向于无穷大时，MN趋向于0，这说明，双曲线在射线ON的下方，并无限接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．定义：直线叫做双曲线的渐近线；直线叫做双曲线的渐近线．四、离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双

3、曲线的形状的影响：1．双曲线的焦距与实轴的比叫做双曲线的离心率，且．2．由于，所以越大，也越大，即渐近线的斜率绝对值越大．这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．五、例题讲解例1　求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析　由双曲线的标准方程，容易求出，引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y

4、轴上的渐近线是．例2　已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的标准方程．例3　（1）求与双曲线的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程及离心率．（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程．分析　已知双曲线的渐近线，求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为．六、课堂练习1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．（1）；（2）2．求双曲线的标准方程：（1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；（2）焦距是10，虚轴长是8，焦点

5、在y轴上；（3）离心率，经过点；（4）两条渐近线的方程是，经过点．3．求以椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．七、小结双曲线的几何性质及其应用．