寿险精算公式集合.pdf

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1、第一章生命表函数与生命表构造生存函数定义S(x)Pr(Xx)意义：新生儿能活到x岁的概率与分布函数的关系S(x)1F(x)与密度函数的关系f(x)S(x)新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率Pr(xXz)sx()sz()未来寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为未来寿命，记作T(x)。分布函数：txqPr(()TXt)prx(XxtXx)sx()sxt()sx()基本函数txpPr(()Txt)Pr(XxtXt)未来寿命的生存函数psxt()txsx()特别：psx()x0px：x岁的人至少能

2、活到x+1岁的概率q：x岁的人将在1年内去世的概率xq：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率tuxqqqpptuxtuxtxtxtux整值未来寿命定义：()x未来存活的完整年数，简记KX()k,kTx()k1,k0,1,Pr(()KXk)Pr(kTx()k1)qqppk11xkxkxkxpqqkxxkkx概率函数未来寿命的期望与方差oeETx(())td(1p)pdtxtxtx期望未来寿命：()x未来寿命的期望值(均值),简记00o222VarTx(())ETx(())ETx(())2tp

3、dtetxx未来寿命的方差0整值未来寿命的期望与方差期望整值未来寿命：()x整值未来寿命的期望值(均值),简记eexEKx(())kkpqxxkk1pxxkk00222VarKx(())EK()EK()(2k1)k1pxex整值未来寿命的方差k0死亡效力sx()fx()ln[()]sxx()xsx()sx()定义：的瞬时死亡率，简记xsx()exp{ds}s0xtpexp{ds}txs死亡效力与生存函数的关系xxfx()sx()exp{ds}xxs死亡效力与密度函数的关系0死亡

4、效力表示未来寿命的密度函数sx()sxt()F()1tpTtxsx()ddsx()sxt()sxt()f()tGt()xtpgt()Ttxxtdtdtsx()sx()关寿命分布的参数模型1xxxsx()1,0xDeMoivre模型(1729)xBcxxsx()exp{Bc(1)},B0,c1,x0Gompertze模型(1825)xABcxxsx()exp{AxBc(1)},B0,A-B,c1,x0Makeham模型(1860)nkxxn1sx()exp{kx},k

5、0,n0,x0Weibull模型(1939)参数模型的问题：至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史：1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年

6、，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号：新生生命组个体数：l0年龄：x极限年龄：l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lxlxlsx0()l0个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：nxd（特别：n=1时，记作dx）dlllq

7、nxxxnxnxdlllqxxx1xxxtLldyl0txLtxxy个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：l0个新生生命中能活到年龄x的个体的未来寿命总数：oTxTldyexyxTxlxxxl10000(1)d,p,q,qx30203030301030例2.1：已知100。计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。l1、dll100p505/73030312030l30llllqq30603/7