微积分6习题答案.pdf

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1、一、填空题1．设，则2．，则3．24．若，则．5．6．由两条抛物线，及所围成的图形的面积是7．已知，则8．函数在处的切线方程是9．设在积分区间上连续，则10．11．12．设，，比较与的大小：13．0二、单项选择题1．设在上成立，则④①在上必连续，但不一定可导②在上必可导③在上必连续，但不一定可导④在上必可导2．④①②③④3．设是定义在上的连续函数，则④①必收敛②若，则收敛③当存在时，则收敛④当且仅当及均存在时，就有收敛6．导数①①②③④④①②③④为偶函数，且，则③①②③④前面的结论都不对为偶函数，则为①①奇函数②偶函数③非奇非偶函数④奇偶性不能确定

2、10．设函数在区间上连续，且，则积分上限函数在区间上①①单调增加②单调减少③有增有减④不增不减11．函数在区间上有界是在区间上可积的②①充分条件②必要条件③充要条件④无关条件12．设是定义在上的连续函数，则④①必收敛②若，则收敛③当存在时，则收敛④当且仅当及均存在时，就有收敛三、求下列积分1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．＝20．21．22．23．四、求下列各题中平面图形的面积及旋转体体积1．曲线与直线及轴所围成的图形。2．曲线与直线及轴所围成的图形。3．曲线与直线及轴所围成的图形。4．

3、曲线与抛物线及轴所围成的图形。5．设函数曲线，试求：（答案）；（1）曲线上处的切线方程；（2）曲线与切线以及轴所围成的图形的面积。（3）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。（4）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。6．求由抛物线与其上点处的切线及轴所围成的平面图形的面积。切线方程：，7．求由曲线及所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。8．已知曲线（）与曲线在处公共切点，求：（1）常数的值及切点；（2）两曲线与轴围成的面积；（3）该图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。9．求曲线和它的极小值点的切线所围区域的面积。切线方程：，10．设曲线段（）和直线段（

4、），记它们与轴所围成的平面图形的面积为,与直线所围成的平面图形的面积为,（1）求面积；（2）取何值时，可使面积达到最小？11．求，，，所围图形绕轴旋转而成的旋转体体积。[解]12．抛物线，通过，两点，且，确定的值使抛物线与轴所围图形的面积最小。[解]代点得,代点,得，所围图形面积为令,得唯一驻点，由最小值存在故其为最小值点，即，，时，其面积最小。13．求由，，，所围平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转所成旋转体的体积。y=sinxcosxy=1xyO[解]如图示，所围图形面积为：旋转体的体积为：14．求曲线在区间内一条切线，使得该切线与直线，和曲线所

5、围成的图形面积最小。xx026MOy[解]：如图，设切点为（），，切线方程：，，，所以所求图形的面积为：令，得唯一驻点。所以当时，切线与直线，和曲线所围成的图形面积最小。于是所求的切线方程五、综合分析题1．确定的值，使2．已知，求。3．4．设为内的连续函数，且在处可导，并有，，求[解]因为在处可导且，所以则5．求，（）[解]6．求定积分，其中为正整数。[解]因为当为正整数且时，所以7．设连续函数满足，求8．求在区间的最大值与最小值。，9．设，求的值。10．已知，求（两边求导得；－1）11．设，求[解]当时，；当时，当时，综上所述，12．设，求13．

6、利用定积分计算极限：[解]原极限14．设在上连续，且，求。[解]两边对求导，得令，六、证明题1．设函数在闭区间上连续，证明：[证]：2．设，，证明：[证]：因为，所以在上连续。于是3．设和在内连续，且。试证：有唯一驻点，且该驻点是的极小值点。[证]：，显然，即为的驻点。因为在内，所以当时，，，从而；当时，，，从而。故是的唯一驻点，也是极小值点。