高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1.doc

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1、四直角三角形的射影定理课标解读1.了解射影定理的推导过程．2.会用射影定理进行相关计算与证明.1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.1．如何使用

2、射影定理？【提示】　运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．2．如何用射影定理证明勾股定理？【提示】　如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，即AC2＋BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且

3、这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】　直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明如下：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．与射影定

4、理有关的计算　已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25cm，求CD的长．【思路探究】　先根据AC∶BC与AD∶BD之间的关系求出AD∶BD的值；再根据斜边AB的长及AD∶BD的值分别确定AD与BD的值．最后由射影定理CD2＝AD·BD，求得CD的长．【自主解答】　(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝，∴＝()2＝()2＝，即AD∶BD＝9∶16.(2)∵AB＝25cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝×25＝9(cm)．BD＝×25＝16(cm)，∴CD＝＝

5、＝12(cm)．1．解答本题(1)时，关键是把转化为()2.2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角　三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比　之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．　图1－4－2　如图1－4－2，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2cm，DB＝6cm，求CD，AC，BC的长．【解】　∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．故CD、AC、BC的长

6、分别为2cm,4cm,4cm.与射影定理有关的证明　图1－4－3已知如图1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：CD3＝AE·BF·AB.【思路探究】　∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.【自主解答】　∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，∴CD2＝AD·BD.又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，∴CD4＝AD2·BD2＝AE·AC·BF·BC＝AE·BF·AC·BC.而S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD4＝AE·BF·AB·CD.即CD

7、3＝AE·BF·AB.1．解答本题的关键是利用S△ABC＝AC·BC＝AB·CD进行转化．2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．在本例条件不变的情况下，求证：＝.【证明】　根据题意可得，DE＝CF，CE＝DF，DE2＝AE·CE，DF2＝BF·CF，∴DE2·BF·CF＝DF2·AE·CE，∴DE3·BF＝DF3·AE，即＝.(教材第22页习题1.4第1题)在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，已知CD＝60，AD＝25，求BD，AB，AC，BC的长．(2013·商丘模拟