构造圆巧解题.doc

《构造圆巧解题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、构造辅助圆巧解中考压轴题关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果，还考查了学生创造性思维，有利于培养学生分析问题的能力。这里，构造辅助圆实则成了解题的关键。例1、根据题意利用合适的方法求解下列各题：（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时B

2、P的长；（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点．当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长。（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符

3、合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，则DA=DP′．图4∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′=√42-

4、32=√7∴BP′=4-√7③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=√7综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4-√7；若AP=AD，则BP=√7解（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=1/2BC∵BC=12，∴EF=6．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与B

5、C相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=√3∴BQ=GQ+BG=3+√3∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+√3解析：要满足动点M对定线段AB所张的角∠AMB=60°，由此联想到“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，于是可构造以AB为边的等边三角形的外

6、接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可求出符合条件的DM的长。解：（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．理由如下：图6以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=1/2AB∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285-

7、135=150．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°以下解法略例2、(2014年山东淄博市中考数学第24题)如图7，点A与点B的坐标分别是（1,0），（5,0），点P是该直角坐标系内的一个动点。（1）使∠APB=30°的点P有　　个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由。解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半

8、径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的点P有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵点C为圆心，CG