2020届新高考数学二轮微专题突破04 通过向量转化研究向量问题（解析版）.docx

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1、专题04通过向量转化研究向量问题一、题型选讲题型一运用基底转化法求参数的值考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，选择一对基底表示其他向量，然后研究系数的关系。例1、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．【答案】－【解析】由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去或，再根据平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．解法1(转化法)如图，因为＋＋2＝0，所以＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋)＝0，即＋＋2(＋－)＝0

2、，所以，3－＋2＝0，即－＋＝0，所以λ＝，μ＝－，λμ＝－.解法2(基底法)因为＋＋＝0，λ＋μ＋＝0，两式相减得＋＋＝＋＋－＝0，所以λ－＝1，μ－＝－1，λμ＝×＝－.解法3(几何法)取AB中点E，则＋＝2＝－2，所以＝，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点．9/9由＝＋＝－，得－＋＝0，所以λμ＝－.解法1，把用其他三个向量来表示，根据平面向量的基本定理得到λ和μ的值；解法2，两式相减，同时消去了，，转化为以，为基向量的方程；解法3，通过构造三角

3、形，根据向量的线性运算，找到，，这三个向量的关系式，以上三种解法都可以称为基底法，此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形，通过坐标法来处理例2、(2017苏锡常镇调研（一））在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________．【答案】1或－　【解析】解法1由题意可得－＝＝λ.又＝－＝＋(λ－1)，所以·＝λ·＋λ(λ－1)

4、

5、2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.例3、(2016苏北四市摸底）在

6、△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为________.【答案】【解析】　如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为AB边的中线，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得＝；在△ACO中，由正弦定理得＝，两式相除得＝，因为AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以＝3，即－＝3(－)，即4＝3＋，所以4＝＋，从而＝＋，因为＝x＋y，所以x＝，y＝，于是x＋y＝.9/9题型二运用基底转化求线段的长运用运用基底转化求线段的长，主要

7、就是研究向量的平方，例4、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若·＝2，·＝5，则AE的长为________．【答案】【解析】　解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量，作为基底．由题意，解得，2＝6，即

8、

9、＝.例5、(2019常州期末）平面内不共线的三点O，A，B，满足

10、

11、＝1，

12、

13、＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若

14、

15、＝，则

16、

17、＝______

18、__．　　【答案】　【解析】注意题目中有中线、角平分线，因此想到利用向量法或建系来处理．解法1(向量法)C为AB的中点，则＝(＋)．又

19、

20、＝，

21、

22、＝1，

23、

24、＝2，所以2＝(＋9/9)2，得·＝－1.由角平分线定理得＝＝，即＝＝(－)，所以＝＋，2＝＝2＋·＋2＝，所以

25、

26、＝.题型三运用基底转化法求向量的数量积基底向量在解决向量问题中的应用．当然，首先必须利用向量运算及简单的轨迹知识去将问题逐步向基底向量转化，解题过程需要有较强的目标意识．；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目

27、标向量转化并求解．例6、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________．【答案】－1　【解析】平面向量数量积的求解主要有两种方式：基底法和坐标法．一般地，基底法运算较为简洁，但思维较抽象；坐标法较为直观，但运算复杂．解法(基底法)因为＝＋2，所以－＝(－)－2，解得＝＋，故·＝(－)·＝·＝2－·＝－×2×3×cos60°＝－1.例7、(2018无锡期末）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，M为

28、DC的中点，N为平面ABCD内一点，若

29、－

30、＝

31、－

32、，则·＝________．【答案】6　【解析】解法1(基底法)因为－＝，－＝，＝，所以＝，9/9故动点N在线段AM的垂直平分线上，设线段AM的中点为P，则＝，由＝＋，可得·＝·(＋)＝·＋·＝·＋0＝2＝(＋)2＝2＝2＋·＋2＝2＋cos＋2＝×4＋×4×2×＋×16＝6.解法2(基底法)因为－＝，－＝，

33、－

34、＝

35、－

36、，所以

37、

38、＝

39、

40、，故动点N在线段AM的垂直平分线上，设线