“弹簧振子”模型.doc

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1、“弹簧振子”模型太原市第十二中学姚维明模型建构：【模型】常见弹簧振子及其类型问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。图2图1【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。模型典案：【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力

2、向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。〖证明〗设弹簧劲度系数为k，不受拉力时的长度为l0，小球质量为m，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x0。由题意得mg=kx0容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O的距离为x,取向下的方向为正方向则回复力F=mg+[-k(x0+x)]=mg-kx0-kx=-kx根据简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(

3、a)，各量大小是关于平衡位置O点对称的。(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称的。在解题时我们经常用到这点。m图3FminaPmgP点【典案2】如图3所示，质量为m的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个特殊点，如图4所示，O为平衡位置，P为最高点，Q为最低点。经判断,可

4、知物体对弹簧的最大压力在Q处,Fmax=1.8mg.aQ=(Fmax-mg)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g物体对弹簧的最小压力时，在P处,根据对称性知aP=aQ·aQ=(mg-Fmin)/mFmin/mg=0.2(2)欲使物体在振动过程不离开弹簧，只需在最高点（P点）满足N≠0即可。其离开弹簧的临界条件为N=0。此时，ap′=g。设振幅最大值为A′，劲度系数为k，则有kA=mapkA′=map′联列两式得A′=1.25A模型体验：【体验1】如图5所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在下端接触地后直到最低点的一段

5、运动过程（）ABO·图5图6aA=gaB﹥gaO=0A.升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值.〖解析〗本题实质上是模型乙的变形。升降机吊索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面接触后,容易判断,v先增大后减小,a先减小后增大，则AB错。根据动能定理容易判断C正确。难度较大的是D选项。我们可以把升降机简化为如图6所示的弹簧振子,弹簧刚触地时升降机位置在A处，升降机向下运动到最低点位置为B处,速度最大位置为O处（即简谐运动的平衡位置），则B为位移等于

6、振幅位置。由振子的对称关系,不难判断点A并非位移等于振幅位置,与A点关于O点对称的点应在B点上方。在A点a=g方向向下，所以在B处a一定大于g，方向向上。【体验2】如图7所示，两木块质量分别为m﹑M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木块m压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。在运动过程中木块M刚好始终不离开地面（即它对地面最小压力为零）。（1）则木块m的最大加速度大小是多少？（2）木块M对地面最大压力是多少？m〖解析〗（1）在m运动过程中，弹簧对m﹑M施加的弹力的方向可以向上也可以向下。选M为研究对象，刚好始终不离开地面即FNmin=0由平衡条件F+FN=M

7、g,可知Fmax=Mg此时，弹簧处于伸长状态，m具有向下的加速度（失重）要使木块m的加速度最大，应该使弹力F最大am=(Fmax+mg)/m=(M+m)g/m（2）要使木块M对地面的压力最大，此时弹簧对M的弹力方向应向下。(此时，弹簧处于压缩状态)选M为研究对象，对其受力分析FN′=F′+Mg要使FN′最大，则F′最大这里要注意，≠FNmax=Mg根据木块m做简谐运动的特点，（1）（2）两种情况，加速度大小相等。对m,有－mg=mam=mg+mam（3）am=(M+m)g/m联列三式，得F/