弹簧振子运动的研究

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时间:2018-07-29

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1、弹簧振子运动的研究2002级5班林锡辉13班方晓伟如图(1)所示,把一个有孔的小球安在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的水平杆上,可以在杆上滑动。小球在水平杆之间的摩擦忽略不计,弹簧的质量比小球的质量小得多,也可忽略不计。这样的系统称为弹簧振子,其中的小球常称作振子。图(1)由弹簧振子的定义可以看出,振子在运动的过程中,由于合外力时刻在改变,从而导致了加速度。速度跟着不断改变,因此它的运动就显得较为复杂。为了能够更好的掌握它的运动规律,同时锻炼我们对运动的研究能力,我们对它进行了初步的研究。一、弹簧振子的周期和运动表达式1.周期规律可能影响因素:小球的质量(M),弹簧的劲度

2、系数(K)以及振子的振幅(A)。(1)周期与振幅(A)的关系。质量为m的小球,前后两次振幅分别为,,弹簧的劲度系数为K,前后两次振动的周期分别为T1,T2。推论:在前后两个运动过程中分别取两小段位移,,使得,根据胡克定律及牛顿第二定律,得,∴由于位移x是任意的,且q为定值。∴而∴7△结论:弹簧振子的周期与振幅无关。(2)周期与振子质量和劲度系数的关系。有两个弹簧振子,振子的质量分别为,,弹簧的劲度系数分别为,,并且振子的振幅相同(因为周期与振幅无关,所以不用考虑它的影响)推论:在两个运动中都取一小段位移x(任意的),同样有由于是任取的,同样可得所以因此有由此可以看出:弹簧振子的周期与

3、振子的质量的算术根成正比,与弹簧劲度系数的算术根成反比,即(其中n是一个与小球质量,弹簧劲度系数,振子振幅等无关的常数)。2.振子位移,速度,加速度的变化规律根据沙漏实验(图2)可知:弹簧振子的位移——时间图像是一条余弦曲线。因为右图沙漏实验得到的余弦曲线,实际上是由x方向上的匀速直线运动和y方向的振动的合成,因此y方向上弹簧振子的振动图像也应为余弦曲线。图(2)如图(3),以经平衡位置向右运动开始计时,则其初相为7图(3)设(A,ω>0)∴.∵∴∴∴.如图(4)是弹簧振子运动的x-t图象。图(4)由图像可见(即正面的常数η=2π);当时,x达到正向最大,此时振子速度ν=0(振子ν-

4、t图象如图(5)所示);当时,振子位移为0,速度达到反向最大。7图(5)(3)振子机械能的变化规律取任意时刻t,则此时系统的总机构能为:如图(6)是振子动能和弹簧势能的关系图,亦可见其机械能总量E恒等于图(6)△结论:弹簧振子在运动过程中机械能守恒,恒为上述弹簧振子均为理想化模型,在实际生活中,由于各种阻力的存在,导致振子周期出现偏差,与理论不相符;振子的振幅也会逐渐减小,机械能逐渐减小。4.恒力作用下的弹簧振子如图(7)是竖直方向上的弹簧振子,振子受到一个恒力--重力的作用。设弹簧的劲度系数为K,自然长度为,振子静止时弹簧伸长量为△x,则有:mg=k△x。现将振子向下拉伸x,则:因

5、为ΣF与x反向,所以矢量式为∴图(7)由此可见,恒力作用下的弹簧振子(此时平衡位置为静止放置时振子所在处)周期不变,运动表达式不变。二.实验验证周期公式(主要验证周期与质量和振幅的关系)71.实验装置:(1)如图(1),弹簧和小球(穿孔)穿过细杆,一端固定在支架上,另一端系着一个小球,使小球在细杆上振动。这种装置既有优点,亦有缺点。优点:可以避免小球在振动中偏离原来的轨道。缺点:由于细杆与小球间存在较大的摩擦,给实验造成较大的误差。为减小摩擦,考虑在细杆上涂一层油脂。但是油是粘性物质,会给实验造成新的误差。(2)既然水平细杆的存在会造成摩擦,那么去掉呢?则小球会下落。但如果顺应或防止

6、这种下落,实验还是可以顺利进行。①顺应下落。将水平弹簧振子变为竖直方向上的弹簧振子,如图(7),由于恒力对振子周期没有影响,因此可以用此装置实验。这种装置的优点是:可以减少阻力的影响;但当振子的振幅较大时,振子会左右摆动。图(8)②防止小球下落。考虑用细线吊住小球,但是由于左右受力不平衡,会造成小球严重脱离轨道。因此可以在小球右端加多一根劲度系数与左边相近的弹簧(此时)如图(8)虽然解决了偏离问题,但也存在一些新的问题。△当振幅太大时,小球受到细绳的拉力变大,且此拉力水平分量也变大,小球会上偏。△解决办法:(1)增加细绳长度。这样,相同振幅下,绳偏离角度变小,绳拉力的水平分量减小,且

7、小球上偏程度减小。(2)减小振子振幅,同样可以减小阻力和上偏程度。比较图(7)和图(8)装置,图(8)的装置显得优越些。因此,实验时选择图(8)装置。2.实验测取数据并分析整理按图(8)装置,取不同质量的小球,振子振幅不同(都不会太大)。测得的数据如下(弹簧劲度系数k=k1+k2=23.13+23.13=46.43N/m)振量质幅时间2cm(30次)4cm(30次)6cm(30次)平均值(1次)理论值(1次)0.133Kg11.0s11.3s12.4s0.

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