圆中有关的角.doc

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1、年级初三学科数学编稿老师田一鹏课程标题圆中有关的角一校张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1.掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。2.掌握圆内接四边形的性质定理。3.了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。一、圆中有关的角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距

2、相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。直径所对的圆周角是直角。3.圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。4.圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。5.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，

3、另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。（对圆内接四边形的性质的考查，在竞赛题目中出现较多。等后面我们学习了直线和圆的相关知识后，还要学到圆的外切四边形及其性质：圆的外切四边形的

4、两组对边的和相等）。三、圆中有关的角的应用根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，即弧把圆心角、圆周角联系起来。能力提升类例1已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝36°，作OE⊥AB交劣弧于点E，连结EC。求∠OEC的度数。一点通：在圆中求角的大小，经常需要用到与圆有关的角的定理。解：∵OE⊥AB，∴E为劣弧的中点∴∠BCE＝∠ACE＝∠AC

5、B又∵∠ABC＝60°，∠BAC＝36°，∴∠BCA＝180°―60°―36°＝84°。∴∠BCE＝42°。由∠OEC＋∠EHF＝∠B＋∠ECB，知∠OEC＋90°＝60°＋42°，∴∠OEC＝12°评析：（1）在三角形中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论。（2）在圆中求角的到大小经常需要用与圆有关的角的定理。例2如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．一点通：连结OC，OD，设∠COP＝α，则∠OPD＝2α，∠AOD＝3α＝3∠BOC．解：连结OC、OD，设∠COP＝α，∵OP=PC，∴∠COP＝∠OCP＝α∴

6、∠OPD＝∠COP＋∠OCP＝2α∵OC=OD，∴∠OCP＝∠ODC＝α。∴∠AOD＝∠OPD＋∠ODC＝3α∴＝3。综合运用类例3已知：如图，△ABC内接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．一点通：延长AO交⊙O于N，连结BN，证∠BAN＝∠DAC即可．解：延长AO交⊙O于N，连结BN，∵∠ANB和∠ACB所对的弧都是，∴∠ANB＝∠ACB。即∠ANB＝∠ACD。∵AN为直径，∴∠ABN＝90°。∵∠ANB＋∠BAN＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BAN＝∠DAC。∵AM平分∠BAC交⊙O于点M，∴∠BAM＝∠CAM。∴∠BA

7、M－∠BAN＝∠CAM－∠DAC。∴∠MAN＝∠MAD，即∠MAO＝∠MAD评析：去掉圆后，这是一道典型的三角形题，在三角形中曾多次见到，你还记得有哪些结论吗？例4已知：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．一点通：连结MB，证∠DMB＝∠CMB．解：证法一：连结MB，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝∠FMB＝90°。∵AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，∴。∴∠DMB＝∠CM