多元积分学应用,弧长、面积、体积行.ppt

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1、§6多元函数积分学的应用一、微元法(1)所求量Q分布在区域上，且对具有可加性：iQQiQ=Qi(2)当i很小时，近似地有Qif(Xi)idQ=f(X)d二、弧长例1.求空间曲线:x=3t,y=3t2,z=2t3从点(0,0,0)到点(3,3,2)的一段弧长解：(0,0,0)t=0;(3,3,2)t=1=5三、面积1.平面图形面积例2.求由抛物线y=(x2)2+1,直线y=2x所围图形的面积.解：y=(x2)2+1y=2x(1,2),(5,10)y=2xy=(x2)2+1

2、100125252.曲面面积(1):z=z(x,y),投影区域Dxy且z(x,y)C1(Dxy).思考问题Dxyxyz0(2):x=x(y,z),投影区域Dyz(3):y=y(x,z),投影区域Dxz例3：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内部的那部分面积.yzx解：A=4A1:Dxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxyzyxDxyA=4A1=2(2)a2例4.求由抛物线z=x2上从x=1到x=2的一段绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.解：:z=x2+y2

3、Dxy:1≤x2+y2≤2z=x2201xyzDxy一般地，由曲线z=(x)(0

4、a2≤x2+y2≤b2}转化为极坐标有3.柱面面积以xy平面上曲线L为准线，母线平行于z轴的柱面被曲面:z=z(x,y)所截，位于与xy坐标面之间的部分的面积为在L上取ds,则故有对弧长曲线积分的几何意义zxy0L(x,y)dsz(x,y)yzx例5.求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a>0)内部的那部分面积.解：A=4A10≤x≤a

5、zyxLzyxL四、体积例6.求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面及平面y=1所围立体体积.解：V=2V1yxz01x10zyx10zy例7.求圆柱体x2+y2≤ax(a>0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积.解：V=4V1yzxzyxDzyxD例8.计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物面z=2x2所围立体体积.解：z=x2+2y2z=2x2x2+y2=1D:x2+y2≤1Dxyz五、质量几何形体的质量分布密度为(X),X则dM=(X)d故(1)平面薄板D,质量面密度(x

6、,y)(2)立体：质量体密度(x,y,z)(3)曲线型物体L()：质量线密度(x,y)((x,y,z))(4)曲面型物体：质量面密度(x,y,z)例9.设球面x2+y2+z2=2及锥面围成立体，其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比，且在球面上等于1.试求该立体的质量.解：体密度为(x,y,z)=k(x2+y2+z2)(x,y,z)由得zyxa所以例10.一个圆柱面x2+y2=R2介于平面z=0，z=H之间，其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数，求其质量.解1.(x,y,

7、z)则=1+221xyRRzH且令1：2：(y≥0)(y≤0)而Dxz={(x,z)

8、R≤x≤R,0≤z≤H}在1上，故21xyRRzH从而在2上，有所以解2：取柱面坐标x=rcos,y=rsin,则柱面方程为r=R,柱面上面积元素dS=Rddz,则21xyRRzH六、重心(1)平面薄板D由静力学,xy平面上n个质点(x1,y1),…,(xn,yn),其质量分别为m1,…,mn，则该质点系的重心坐标为其中分别称为该质点系对y轴和x轴的静力矩，为该质点系的总质量.设平面薄板D

9、，质量面密度(x,y)则xy又若为常数，则其中称之为形心.(2)立体:质量体密度(x,y,z)其中例11.求r=2sin和r=4sin所围均匀薄片D的形心.解：因D关于y轴对称，故形心为xy0例12.在底圆半径为R,高为H的圆柱体上拼加一个半径为R的半球体，要使拼加后的整个立体的形心位球心处，求R与H的关系.解：由题意选择坐标系如图，则xyRz0H圆柱体：x2+y2≤R2,H≤z≤0半球体：x2+y2+z2≤R2,z≥0因关于x,y轴对称,故有而

10、其中V为的体积令得故有