2019_2020学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2.doc

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1、2．3．1　圆的标准方程　1．了解点与圆的位置关系．　2．理解圆的定义及标准方程．3．掌握求圆的标准方程的一般方法，能根据所给条件求圆的标准方程．1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点就是圆心，定长就是半径．(2)圆的标准方程的形式：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明．2．点与圆的位置关系代数法：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)：(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(3)点在圆内：(x0－

2、a)2＋(y0－b)2＜r2．几何法：设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d>rd＝rd0)．解：根据圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中圆心为(a，b)，半径为r，故(1)圆心坐标是(2，5)，半径是3．(2)圆心坐标是(0，0)，半径是16．(3)圆心坐标是(－1，2)，半径是．2．写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为2；

3、(2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径为．解：(1)因为圆心在原点，半径为2，即a＝0，b＝0，r＝2．所以圆的标准方程为x2＋y2＝4．12(2)圆心是两直线的交点，即圆心在上，所以圆心为．又因为半径为，所以圆的标准方程为＋＝．3．已知圆心在C(3，4)，半径r＝5，求此圆的标准方程，并判断点A(0，0)，B(1，3)是在圆上、在圆外、还是在圆内．解：法一：所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，因为点A(0，0)与圆心C(3，4)的距离为d＝5，而r＝5，d＝r，所以点A(0，0)在圆上．因为点B(1，3)与圆心C(3，4)的距离为d＝＝<5，所

4、以点B(1，3)在圆内．法二：所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，将A(0，0)，B(1，3)分别代入圆的方程，得(0－3)2＋(0－4)2＝25，(1－3)2＋(3－4)2＝5<25，所以点A(0，0)在圆上，点B(1，3)在圆内．　求圆的标准方程　求下列圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(2)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．【解】　(1)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，所以圆的标准方程为x2＋

5、y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x＋y－2＝0上，所以可设点C的坐标为(a，2－a)．又因为该圆经过A，B两点，所以

6、CA

7、＝

8、CB

9、．所以＝，12解得a＝1．所以圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝

10、CA

11、＝2．故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由解得即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2

12、＋(y－1)2＝4．　本例(2)改为求经过点A(1，－1)，B(－1，1)面积最小的圆的标准方程，如何求解？解：当AB为圆的直径时，半径最小，从而圆面积最小．此时圆心C(0，0)，半径r＝

13、AB

14、＝＝，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝2．(1)用直接法求圆的标准方程的策略①确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．②确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必过圆心”等．(2)待定系数法求圆的

15、标准方程的一般步骤　　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有12解得所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25．　点与圆的位置关系　已知圆心为C(5，6)，且过点A(4，9)的圆，试判断点M(6，9)，N(3，3)，O(