2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修2

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1、2.3.1　圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养.1．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2．点与圆的位置关系设点

2、P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]　若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)(　　)A．是圆心　　B．在圆上　　C．在圆内D．在圆外

3、C　[圆心M(2,3)，半径r＝2，∵

4、PM

5、＝＝＜r，∴点P在圆内．]2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A　[圆心为(0,0)，半径r＝4，P到圆心的距离d＝＞4，所以P在圆外．]3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3)，D．(2，－3)，D　[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.]4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)

6、2＋y2＝4　[圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]直接法求圆的标准方程【例1】　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y

7、－3)2＝52[思路探究]　(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．(1)A　(2)A　[(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝＝，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法

8、求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25C　[因该圆与

9、x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.]待定系数法求圆的标准方程【例2】　求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．[思路探究]　解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解]　法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

10、CA

11、＝

12、CB

13、.∴＝，解得a＝－2.∴圆心坐标为C

14、(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝＝，所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，所以线段AB的垂直平分线的