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1、线性变换与矩阵的关系学院：数学与计算机科学学院班级：2011级数学与应用数学：学号：线性变换与矩阵的关系（西北民族大学数学与应用数学专业，730124）指导教师一、线性变换定义1设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=Tα,(α∈V)。设α∈V，T(α)=β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集
2、合称为象集，记作T(V)。即T(V)={β=T(α)
3、α∈V},显然T(V)⊂U注：变换的概念实际上是函数概念的推广。定义2设Vn,Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从Vn到Um得变换，如果变换满足（1）任给α1，α2∈Vn，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2);（2）任给α∈Vn，k∈R，都有T(kα)=kT(α)。那么，就称T为从Vn到Um的线性变换。说明：线性变换就是保持线性组合的对应的变换。一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元α在变换下
4、的象。若Um=Vn，则T是一个从线性空间Vn到其自身的线性变换，称为线性空Vn中的线性变换。下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换。二、线性变换的性质设T是Vn中的线性变换，则(1)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+kmTαm;(3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关；注：讨论对线性无关的情形不一定成立。(4)线性变换T的象集T(Vn)是一个线性空间Vn的子空间。记ST={α
5、α∈Vn,Tα=0}
6、称为线性变换T的核，ST是Vn的子空间。设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么(i)σ是满射Im(σ)=W;(ii)σ是单射Ker(σ)={0}定理1设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间。而W的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间。三、线性变换的运算设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法，数乘与乘法如下：加法：数乘：；乘法：，其中，.易验证，当A,B是V的线性变换时，A+B，
7、AB以及kA都是V的线性变换.四、线性变换的矩阵设是数域F上的一个维向量空间,是的一个基,.由于因而它们可由基线性表出.令(1)………………….(1)也可以表示为：,(2)其中……A=………………………称为关于基的矩阵.的第列元为在基下的坐标,因而当取定基之后,在这一基下的矩阵是唯一的.设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基,,¼,.考虑V中任意一个向量s(x)仍是V的一个向量.设s(x)=自然要问,如何s(x)计算的坐标.令(2)………………………………这里,i,j=
8、1,…,n,就是关于基的坐标.令……A=………………………n阶矩阵A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应.为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3)=.设=因为是线性变换,所以(4)=将(3)代入(4)得A最后等式表明,关于的坐标所组成的列是A比较等式(1),我们得到定理1令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是……A=………………
9、………如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么(5) 在空间取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有所以关于基的矩阵是设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么：设A向量空间V的线性变换，如果，则矩阵A称为线性变换A在基下的矩阵.（1）相似矩阵：对于两个n阶方阵A,B，如果存在一可逆矩阵C，使得，则称方阵A与B相似，记为A～B.（2）线性变换的特征值和特征向量：设A是向量空间的一个线性变换，如果存在实数和V中非零向量ξ，使得Aξ
10、=λξ，则称λ为A的一个特征值，ξ为A的属于特征值λ的一个特征向量.（3）矩阵的特征值和特征向量：设A为一个m阶实矩阵，如果存在m维非零向量，使得，则称λ为矩阵A的特征值，为A的属于特征值λ的特征向量.下面定义线性变换的运算.1、正交变换的性质：设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1)A是正交变换；(2)A保持向量的长度不变，即对于任意的；(3)如果是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.(4)A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2、线性变换矩阵的性质：①设V的线性变换A在基
