高考数学专题复习：专题4立体几何 第3讲.pdf

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1、专题四　第三讲一、选择题1．(2014·北京理，7)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)，若S1、S2、S3分别是三棱锥D－ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1[答案]D[解析]D－ABC在xOy平面上的投影为△ABC，1故S1＝AB·BC＝2，2设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D－ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△

2、OCD2和△OAD3，∵D2(0,1，2)，D3(1,0，2)．11故S2＝×2×2＝2，S3＝×2×2＝2，22综上，选项D正确．2．(2013·天津和平区模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()1310A.B.510103C.D.105[答案]B[解析]以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，∵AA1＝2AB，∴E(0,0,1)

3、，→→∴BE＝(－1,0,1)，CD1＝(－1,0,2)，→→BE·CD1→→3310∴cos〈BE，CD1〉＝＝＝，→→2·510

4、BE

5、·

6、CD1

7、故选B.3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()12A.B.3332C.D.33[答案]B[解析]如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图．设△ABC边长为1，则3316A(，0,0)，B1(－，，)，3223→5316∴A

8、B1＝(－，，)．623平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为6→32sinα＝

9、cos〈AB1，n〉

10、＝＝.75163＋＋3649→→4．(2014·吉林九校联合体二模)如图，在四面体OABC中，已知AC＝BC，

11、OA

12、＝3，

13、OB→→

14、＝1，则OC·BA()A．8B．6C．4D．3[答案]C→→→→1→[解析]如图，取AB的中点D，∵AC＝BC，∴AB⊥DC，OC＝OD＋DC，又OD＝(OA2→→→→→→→→1→→→→1→→1＋OB)，∴OC·BA＝(OD＋DC)·BA＝OD·BA＝(OA＋OB

15、)·(OA－OB)＝(OA2－OB2)＝(9－1)222＝4.5．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角[答案]D[解析]∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB.故A正确．易知B正确．设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SB

16、D所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确．由排除法可知选D.6．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的长为()12A.B.2236C.D.36[答案]D[解析]解法一：取AB的中点N，由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形，∴MN11＝AB＝.223又G为△ABC的中心，∴NG＝，66故MG＝MN2－NG2＝.6→→→解法二：设DA＝a，DB＝b，DC＝c，→→→λλλλAM＝AD＋λDG＝－a＋(a＋b＋c)＝(－1)a＋b＋c，3333→

17、→→λλλBM＝BA＋AM＝(a－b)＋(－1)a＋b＋c333λλλ＝a＋(－1)b＋c.333→→11由AM·BM＝0，ab＝bc＝ac＝，可解得λ＝.22→1→6

18、MG

19、＝

20、DG

21、＝.26二、填空题7．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．3[答案]a3→[解析]设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD1＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝22→(－，0，)，MD1＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距

22、离22→→d＝

23、MD1

24、2－

25、MD1·s

26、2131＝m2＋a－m2－a－m2＝m2－am＋a2，222－aa3aa11根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值()2－a×＋a2＝a2，故d的最小3323