线性代数课件 05.特征值及特征向量.ppt

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1、一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法第一节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义注意（1）是方阵（2）特征向量是非零列向量（4）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一定义1设是阶方阵，若数和维非零列向量，使得成立，则称为方阵的对应于特征值的一个特征向量。是方阵的一个特征值，定义满足设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量则称为A的特征值，非零向量称为A的对应于(或属于)特征值的特征向量。把(1)改写为是A的特征值使得(2

2、)有非零解(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.分析或已知所以齐次线性方程组有非零解或是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。定义2已知数，则为A的特征矩阵称为矩阵的特征方程。特征方程的根即为A的特征值。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。定理5.1.2推论设n阶方阵特征值为,则又定理5.1.3设是方阵A的特征值，对应的一个特征向量证明(1)是kA的特征值，对应的特征向量仍为

3、x。(2)是的特征值，对应的特征向量仍为x。(3)当A可逆时，是的特征值，对应的特征向量仍为x。证性质1二、特征值与特征向量的性质设是方阵A的特征值，则是的特征值。的特征值。如果A可逆，则的特征值。是是推广性质2：矩阵和的特征值相同。注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。（4）定理5.1.1设3阶矩阵A的三个特征值为求解A的特征值全不为零，故A可逆。的三个特征值为计算得因此，例1是对应于的特征向量，两边左乘A，证设有一组数性质三注意１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的

4、非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．三、特征值与特征向量的求法求出即为特征值;例2求解的特征值与特征向量.当时,解同解方程组特征值为是时全部特征向量。得基础解系为当时,解同解方程组是时全部特征向量。得基础解系为T解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。例3齐次线性方程组为得基础解系是对应于的全部特征向量.

5、当时，系数矩阵自由未知量:令得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量.齐次线性方程组为当时，证明A的特征值只能取1或2.解特征值只能取0，例4、(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值______.，A有一个特征值为______.(4)，A有一个特征值为______.可逆,A的特征值一定不等于______.回答问题(5)一个特征值对应于几个特征向量?一个特征向量对应几个特征值?(后面证明)(6)A的各行元素之和均等于2,则A有一

6、个特征值是___,它对应的特征向量是______。特征向量的个数=____。是的一个特征值，它对应的最大无关的一、单选题１．可逆矩阵Ａ与矩阵（）有相同的特征值．①ＡＴ；②Ａ－１；③Ａ2；④Ａ＋Ｅ２．Ａ为n阶方阵，则（）结论成立．①Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量也是Ａ－１属于λ－１的特征向量；②Ａ的特征向量既为方程(λＥ－Ａ)Ｘ＝０的全部解；③特征向量的线性组合仍是特征向量．④Ａ与ＡＴ特征向量相同．课堂练习一、单选题答案：１．①；２．①;3.④３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（）①有零特征值②有

7、二重特征值零③可能有也可能无零特征值④无零特征值二、填空题１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则

8、A

9、＝（），Ａ－１的特征值为（），ＡＴ的特征值为（），Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（）．２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（）．３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（）．－６１，-1/2,1/3１，－２，３．4,1,1600,1二、填空题4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ都不可逆，则Ａ的特征值为（）．５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，则｜Ａ－５Ｅ｜＝（）。1,-1,3-72求

10、矩阵A，B的特征值和特征向量。解（对矩阵A）备用题A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为对于，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为（对矩阵B）B的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为一、相似矩阵的定义及性质二、矩阵可对角化的