线性代数课件-4.4特征值特征向量.ppt

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1、§4·4矩阵的特征值和特征向量定义4·11设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数λ，使方程AX=λX有非零解，则称λ为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于λ的特征向量n阶方阵，λ--数n维未知向量，方程AX=λXAX-λX=O（A-λE）X=O即不论λ取何值，方程AX=λX一定有解特征值：使n元齐次方程AX=λX有非零解的数λ0A的属于λ0的特征向量：n×nn元齐次方程组例如：对，取λ=4，代入方程AX=λX得AX=4X（A-4E）X=O（A-4E）X=O有非零解所以，λ=4是矩阵A的一个特征值对，取，得一个基础解系则方程（A-4E）

2、X=O的全部解为：c为任意常数A的属于λ=4的特征向量：c≠01、求n阶方阵A的特征值：数λ0是A的特征值λ0使方程AX=λX有非零解因此：λ0是A的特征值λ0使成立求A的特征值步骤（P174)：（1）计算n阶行列式解得方程的根λ1，λ2，…，λn则λ1，λ2，…，λn即是A的特征值设=行列式中不同行不同列的n个元素的乘积的代数和λ的n次多项式则方程即是λ的n次方程在复数域上，方程一定有n个根。A的特征多项式方程A的特征方程【例1】求的特征值解：令,得λ1=-1，λ2=7则A的特征值为λ1=-1，λ2=7P176lll--=-4532EA7

3、615)4)(2(2--=---=llll0=-EAl2、求A的属于特征值λ的特征向量（P174)：设λi是A的特征值，即方程（A-λiE）X=O有非零解，2）求出（A-λiE）X=O的一个基础解系V1、V2、…、Vs步骤：1）把λ=λi代入方程（A-λE）X=O得一齐次线性方程组（A-λiE）X=O3）A的属于特征值λi的特征向量为：是不全为零任意常数方程组（A-λiE）X=O的全部非零解A的属于特征值λi的特征向量:则方程AX=λiX有非零解解：令,得λ1=-1，λ2=7则A的特征值为λ1=-1，λ2=7lll--=-4532EA761

4、5)4)(2(2--=---=llll0=-EAl及特征向量【例1】求的特征值把λ1=-1代入方程（A-λE）X=O，得（A+E）X=O,得一基础解系A的属于λ1=-1的全部特征向量为：îíì=+=+0550332121xxxx03321=+xx21xx-=取12=x把λ2=7代入方程（A-λE）X=O，得（A-7E）X=O,得一基础解系于是，A的属于λ2=7的全部特征向量为：îíì=-=+-0350352121xxxx03521=-xx2153xx=取52=x【例2】求矩阵的特征值与特征向量解：,得λ1=2，λ2=λ3=1（二重根）则A的

5、特征值为λ1=2，λ2=λ3=1把λ1=2代入方程（A-λE）X=O，得（A-2E）X=O令0=-EAlïîïíì==+-=+-0040312121xxxxxîíì==0021xx,得一基础解系于是，A的属于λ1=2的全部特征向量为：把λ2=λ3=1代入方程（A-λE）X=O，得（A-E）X=O行变换于是，A的属于λ2=1的全部特征向量为：取13=xîíì=+=+-0023121xxxxîíì-==13122xxxx得一基础解系取11=x【例3】求矩阵的特征值与特征向量解：得λ1=-2，λ2=λ3=7（二重根）则A的特征值为λ1=-2，λ2

6、=λ3=7把λ1=-2代入方程（A-λE）X=O，得（A+2E）X=OP178令0=-EAl,得一基础解系于是，A的属于λ1=-2的全部特征向量为：îíì=+-=-02023221xxxxîíì==232122xxxx取12=x把λ2=λ3=7代入方程（A-λE）X=O，得（A-7E）X=O令分别取，得基础解系于是，A的属于λ2=λ3=7的全部特征向量为：022321=++xxx31222xxx--=【例（补）】求n阶数量阵的特征值与特征向量解：得λ1=λ2=…=λn=a（n重根）则A的特征值为λ1=λ2=…=λn=a把λ1=a代入方程（A

7、-λE）X=O，得（A-aE）X=OOX=O令0=-EAl因为A-aE=O，所以r（A-aE）=0于是齐次线性方程组（A-aE）X=O的基础解系由n-r=n个解向量构成由于方程（A-aE）X=OOX=O任意一个n维向量V都满足方程OV=O即任意一个n维向量V都是方程(A–aE)X=O的解取n维单位向量组作为（A-aE）X=O的基础解系，则A的属于λ1=a的全部特征向量为：（不全为零）定理4·5n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。即若是属于特征值λ1的特征向量是属于特征值λ2的特征向量且λ1≠λ2，则与线性无关证明：设λ1、λ2、…

8、、λm是A的m个不同的特征值，α1、α2、…αm是分别属于λ1、λ2、…、λm的特征向量，即αi是方程AX=λiX的非零解即有Aαi=λiαi，且αi≠0要证：α1、α2、…αm