线性代数线性方程组解的结构课件.ppt

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1、第3章线性方程组二、齐次线性方程组解的结构与解法三、非齐次线性方程组解的结构与解法下页一、线性方程组的同解变换3.1线性方程组的同解变换含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+若b=(b1,b2,…,bm)≠o，则称(1)为非齐次线性方程组；若b=(b1,b2,…,bm)＝o，即a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2

2、a1nxna2nxnamnxn000====++++++++++-+……(2)则称(2)为齐次线性方程组,或(1)的导出组.下页……(1)代数方程可用矩阵形式表示为AX=b,b=，b1b2bmA=，a11a21am1a12a22am2a1na2namnX=，x1x2xn对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为AX=o.o=000其中，下页含有m个方程n个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nx

3、namnxnb1b2bm====++++++++++-+……(1)矩阵方程可用向量形式表示为对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为其中，下页含有m个方程n个未知量的线性方程组a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+……(1)向量方程称为方程组的系数矩阵.A=a11a21am1a12a22am2a1na2namn称为方程组的增广矩阵.下页系数矩阵与增广矩阵例1．解

4、线性方程组3x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-方程组的解为x1x2x3712=-=-=于是得到x2=3-2x3=-1=-7x1=3+2x2-4x3x3=2+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-解：+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2+4x3=3-2x2x1x3=2+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2消元法解方程组过程下页由上述

5、求解过程可看出，对方程组的化简施行了三种运算：用一个非零数乘以方程；用某个数乘以某一方程然后加到另一方程上去.互换两个方程的位置；我们称上述三种运算为线性方程组的初等变换.显然，对方程组施行初等变换得到的方程组与原方程组同解.利用初等变换将方程组化为行阶梯形式的方程组，再利用回代法解出未知量的过程，叫做高斯消元法.可以看出，对方程组（1）施行的初等变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算.这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换.下页线性方程组的初等变换.+4x3=3-2x2x1+x3=5+4x2-x1+14x

6、3=12-5x23x13x1x1x15x22x24x214x34x3x31235===--++++++-例1.+4x3=3-2x2x1+5x3=82x2+2x3=3x2x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2(Ab)=1-243-14153-514123-514121-243-141501231-243025801231-2430012——r1r2——r2-3r1r3+r1——r3-2r2用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.消元法与矩

7、阵的初等行变换下页x3=2+4x3=3-2x2x1+2x3=3x2——r3-2r201231-2430012——r3-2r2消元法与矩阵的初等行变换下页x3=2=-5-2x2x1=-1x2——r2-2r3r1-4r3010-11-20-50012——r2-2r3r1-4r3x3=2=-7x1=-1x2——r1+2r2010-1100-70012——r1+2r2行最简形矩阵行阶梯形矩阵用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组的增广矩阵施以初等行变换的过程.总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只是对未知量的系数及常数项进行运算.

8、这些运算相当于对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的初等变换化为行最简