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1、第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本平均数的分布与中心极限定理6.5样本比例的抽样分布6.6两个样本平均数之差的分布6.7关于样本方差的分布6.1统计量6.1.1统计量的概念定义6.1不包含任何未知参数的样本函数称为统计量.例6.1设是总体的一个简单随机样本,则样本平均数和样本方差都是统计量.但当未知时不是统计量.6.1.2常用统计量(1)样本平均数(2)样本方差也称为样本方差.(3)变异系数也称离散系数.(4)样本原点矩称为样本阶原点矩.特别,.(5)样本中心矩称为样本阶中心矩.特别(
2、6)样本偏度称为样本偏度.它反映出总体偏度的信息。若,则偏度.(7)样本峰度称为样本峰度.若,则峰度.6.1.3次序统计量定义6.2设样本的观察值按从小到大排序为,令取值,则称为第个次序统计量,其中和称为最小次序统计量和最大次序统计量.分位数都是次序统计量.6.1.4充分统计量如果统计量充分利用了样本所含的末知参数的全部信息,称为充分统计量.例6.2某电子元件厂为了解产品的不合格率,抽取了100个电子元件,结果为前3个元件不合格(记为)而其余元件都合格(记为).这个结果可用两种表示法:(1)100个元件中有3个不合格(记为)(2)100个元件中前3个不合
3、格(记为)即可用两个不同的统计量这里包含的全部信息.6.2关于分布的几个概念6.2.1抽样分布统计量的分布称为抽样分布.讨论的统计量有样本平均数,样本比例和样本方差等.在正态总体条件下,主要有分布,分布和分布等.抽样分布不同于总体分布和样本分布.1.总体中各元素的观察值所形成的分布2.分布通常是未知的3.可以假定它服从某种分布总体分布总体1.一个样本中各观察值的分布2.也称经验分布3.当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布样本1.样本统计量的概率分布2.随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等3.结果来自容量相同的所有可能样
4、本4.提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布抽样分布总体样本计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本均值的抽样分布(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3、x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差样本均值的抽样分布(例题分析)现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,
5、141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的抽样分布(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）X样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.5样本均值的分布与总体分布的比较(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(X)1.00.1.2.31.5
6、3.04.03.52.02.5X6.2.2渐近分布当样本量较大时,用统计量的极限分布作为抽样分布的近似,这种极限分布称为渐近分布.例6.3设是来自非正态总体的一个随机样本,且.由于时的渐近分布为.从而时6.2.3随机模拟获得的近似分布在一些实际应用中,确定精确的抽样分布或渐近分布都是困难的,这时可利用计算机进行随机模拟来获得近似分布。例如对统计量,每次从总体中抽取样本量为的随机样本,并求得统计量相应的取值,在重复取得个样本时,可由这个样本的取值得到经验分布函数作为的分布函数的近似。这种抽样由计算机来实现,这就是由随机模拟获得统计量的近似分布方法.6.3由
7、正态分布导出的几个重要分布总体为正态分布时的重要抽样分布有分布,分布和分布等.6.3.1χ2分布定义6.3设随机变量相互独立且服从标准正态分布.则服从自由度为的分布.数学期望和方差设,则分布具有可加性.即若则利用正态分布的近似方法设,则当较大时,近似服从,即近似服从.于是即(6.1)6.3.2t分布定义6.4设,且随机变量和相互独立,则服从自由度为的分布,记为.(6.2)数学期望和方差设,则一个样本平均数的分布设是来自正态总体的随机样本,则(6.3)两个样本平均数的分布设是来自正态总体的随机样本,而是来自正态总体的随机样本,且两个样本相互独立,则(6.4
8、)6.3.3F分布定义6.5设,且随机变量和相互独立,则服从第一自由度为,第二自
