§4-2绘制根轨迹基本规则.ppt

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1、§4-2绘制根轨迹的基本规则一、180°根轨迹的绘制原则例1．设控制系统的开环传函为试确定根轨迹的有关数据。解：例2．已知某负反馈系统的开环传函为试画出其根轨迹。解：（2）利用Routh判据确定K和ω值由特征方程式列出劳斯阵为当劳斯阵s1行等于零时，特征方程可能会出现共轭虚根。令s1行等于零，则得K＝KC＝6。共轭虚根值可由s2行的辅助方程求得：将KC＝6代入上式解得两种方法计算的结果一致。例：已知系统的开环传递为，其开环零、极点位置如下图所示，试计算根轨迹在起点－1＋j1的出射角。令K从零稍微增大

2、，则根轨迹从－1＋j1点出发到达s1，s1点应满足相角条件，即如上图a所示，由于s1点离起点很近，故可认为上式中的α1，β1，β2，β3就是开环零极点到起点－1＋j1的矢量幅角，见上图b，即α1＝45°，β１＝135°，β２＝26.6°，β3＝90°，代入上式求得β4＝－26.6°。因此根轨迹在－1＋j1点的出射角为－26.6°。（1）当ｎ－ｍ≥2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和，且为常数，即结论：（2）闭环极点之积和开环零、极点具有如下关系当开环系统具有零极点时，，则有即闭环极点之积与

3、根轨迹增益成正比。例1：已知系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。式中：解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为s1＝0，s2＝－2。（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。（3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。（4）计算分离点：将N(s)＝1，D(s)＝s(s＋2)代入分离点计算公式N′(s)D(s)－N(s)D′(s)＝0中，解得分离点为s＝－1。（5）根轨迹的渐近线。①渐近线的倾角：根据式渐近线计算公式得②渐近线的交点：根据公式计算得二．根

4、轨迹的绘制渐近线的交点和根轨迹的分离点重合。根据以上分析计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示。例2：已知具有开环零点的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为s1＝0，s2＝-2。（2）终点：二条根轨迹一条终止于开环有限零点s=-4，另一条趋向无限零点。（3）实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹存在的区间为[-2,0][-∞，-4］。（4）分离点和会合点：由公式可得N′(s)D(s)－N(s)D′(s)＝(2s+2)(s+4)-(s2+2s)＝0整理得s2+8s+

5、8＝0对上式求解得（5）复平面上的根轨迹。根据相角条件，根轨迹上的各点应满足幅值和相角条件公式，即在复平面上，，于是得即对上式整理后得圆方程式它的圆心在(-4,)点，半径等于，根轨迹如下图所示。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。0-4p1p2p3p4A高阶系统的试差求解