同济高等数学二章课件.ppt

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系§2.1导数概念上页下页铃结束返回首页一、引例设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)以t0为起始时刻物体在t时间内的平均速度为此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值t越小近似的程度就越好因此当t0时极限1.直线运动的速度就是物体在t0时刻的瞬时速度.下页求曲线y=

2、f(x)在点M(x0y0)处的切线的斜率在曲线上另取一点N(x0+xy0+y)作割线MN设其倾角为j观察切线的形成2.切线问题当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率动画演示.首页两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义存在则称函

3、数f(x)在点x0处可导并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数记为f(x0)即下页设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义如果极限导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:例1求函数y=x2在点x=2处的导数解.或.下页导数的定义式:导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作提问:导函数的定义式如何写?

4、下页例2求函数f(x)=C的导数(C为常数)解即(C)=0下页2.求导数举例解例3解例4下页2.求导数举例2.求导数举例例5求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数更一般地有(xm)=mxm-1(其中m为常数)把以上结果中的a换成x得f(x)=nxn-1即(xn)=nxn-1解=nan-1(xn-1+axn-2++an-1)下页2.求导数举例例6求函数f(x)=sinx的导数解下页(sinx)=cosx同理可得(cosx)=-sinx2.求导数举例例7求函数f(x)=ax(a>0

5、a1)的导数解下页(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ax)=axlna特别地有(ex)=ex2.求导数举例例8求对数函数y=logax的导数解下页(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ax)=axlna2.求导数举例以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.下页特别地有特别地有(ex)=ex3.单侧导数导数与单侧导数的关系函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间[ab]上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a

6、点有右导数、在b点有左导数函数在区间上的可导性下页例9求函数f(x)=

7、x

8、在x=0处的导数导数与单侧导数的关系因为f-(0)f+(0)解所以函数f(x)=

9、x

10、在x=0处不可导3.单侧导数首页三、导数的几何意义导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0f(x0))处的切线的斜率即f(x0)=tana其中a是切线的倾角切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0)法线方程为下页解所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程例10所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4x+y-4

11、=0即2x-8y+15=0下页首页例11设切点的横坐标为x0解于是所求切线的方程可设为已知点(04)在切线上所以解之得x04于是所求切线的方程为则切线的斜率为四、函数的可导性与连续性的关系结论如果函数y=f(x)在点x0处可导则它在点x0处连续这是因为应注意的问题:这个结论的逆命题不成立即函数y=f(x)在点x0处连续但在点x0处不一定可导下页连续但不可导的函数但在点x=0处不可导例12例13函数y=

12、x

13、在区间(-+)内连续但在点x=0处不可导这是因为函数在点x=0处导数为无穷大>>>结

14、束内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系