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1、第四节机动目录上页下页返回结束函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法三、曲线的凹凸与拐点二、函数单调性的应用一、函数单调性的判定法定理1.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，若对任意x∈(a,b)都有则f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少).注：定理中[a,b]改为其它类型的区间,结论仍成立。注:求f(x)单调区间的步骤(书P113)1.写出f(x)的定义域；2.求并求出f(x)的驻点和使不存在的点。使导数f´(x0)=0的点x0称为f(x)的驻点。3.用驻点与不可导点作分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论正负符号在各小区
2、间内的4.写出单调区间。例1.解:定义域讨论的单调区间。令得驻点x=1,0∴单减区间为(0,1]；单增区间为例2解的单调性.讨论定义域为得驻点x=0;不可导点x=1.∴y在上单增；在上单减。例3二、函数单调性的应用1.证明不等式证：令时，即：证明:当x>0时，f(x)单增,1.将待证不等式移项（或变形后移项），2.求，由导数的正负得f(x)的单调性3.由f(x)的单调性使一边为零，另一边视作f(x).注:证明函数不等式的一般方法得出f(x)≥0（或f(x)≤0）。例4.证明x>0时，证:设则故时,单调增加,从而即机动目录上页下页返回结束2.讨论方程的根的个数（
3、1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根方法是：（用零点定理）例5.解：令（1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根（用零点定理）讨论方程的实根的个数.令0，得在(-1,1)内只有一个实根;例5.令（1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根（用零点定理）方程.(3)解:(1)当-a<0时,即a>0时,方程无根.-a（1）作辅助函数，求其单调区间；（2）在每个单调区间内确定是否有根（用零点定理）(2)当-a=0时,即a=0时,方程有唯一实根x=e.思考题讨论方程elnx-x=a(a为任意常数
4、)的实根的个数.-a方程elnx-x=a(3)当-a>0时,即a<0时,f(x)=0在(0,e)内∴由零点定理,只有一个实根f(x)=0在∴由零点定理,只有一个实根定义.设在区间I上连续,(1)若恒有则称f(x)的图形是凹的;(2)若恒有则称f(x)连续曲线上有切线的凹凸的图形是凸的.三、曲线的凹凸与拐点（P122）机动目录上页下页返回结束分界点称为拐点.实例:凸.1•凹;1•实例:定理2.(凹凸判定法)设函数在区间I上有二阶导数(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.注:求曲线y=f(x)凹凸区间的步骤书P1241.写出f(x)的定义
5、域；2.求,并求出的点和不存在的点3.用点与不存在的点作分点，把定义域划分为小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号。4.确定凹凸区间。例6.求曲线的凹凸区间及拐点.解:定义域为令得1.写出函数f(x)的定义域；2.求,并求出的点和3.用点与不存在的点作为定义域的不存在的点的分点，把定义域划分为几个小区间，列表讨论在各小区间内的正负符号.4.确定凹凸区间。例6.定义域为令得凹区间:凸区间:拐点(0,1),凹凹凸区间I例7.求曲线的凹凸区间及拐点.解:定义域（－∞,+∞）令得当x2=0时，不存在.例7.定义域令得当x2=0时，不存在故凸区间:拐点:(0,0),凸凸
6、凹凹区间:区间I注意：(1)若为拐点，则(2)若则为拐点。(×)(×)例如：oxy参见例7但（0，0）不是拐点定理3设二阶可导,且为曲线的拐点，则例8.已知为曲线的拐点，求∴解:依题意有证明:当时，有证令,则例9在上凸，即oxyy=F(x)x内容小结1.可导函数单调性判别在I上单调递增在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点习题一、P1201（2）（3）（8）；2（1）（3）；3二、P1241（1）（6）；2；3（3）思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在2.（2005考研题)证明当时，有证明：令因
7、故在单减，所以在上单增，原式得证从而类似地,练习册P18,八,证明ep>pe例6.证明时,成立不等式证:令即因此记∴当单减，所以在上单减从而例6.证明时,成立不等式另证:令即从而证明目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证（1）:机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数不妨设则有由拉格朗日中值公式得这里定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;证（1）机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数∵单增，结论(1)f(x)凹:(2)f(x)凸:例11.利用凹凸性证明：
8、证：令在是凹的，所以，时，即：设在区间
