高等数学微积分教程第二章 导数与微分课件.ppt

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1、一.函数的和、差、积、商的导数：定理:设函数u=u(x)及v=v(x)在点x可导,由(1)(2)可推广到有限则他们的和差积商在点x也可导，且有初等函数的导数2.例题:例1.已知求解:例2.求的导数解:例3.求的导数解例4.求的导数解:例5.设求解:显然用公式(2)非常麻烦,同理例6.设求解:janson:由导数定义例7求解二.反函数的导数1.定理:设单调连续函数在区间(a,b)内可导,则它的反函数在对应的区间(c,d)内也可导,且且2.例题例1.求的导数解:是其反函数,在单调连续且有导数因,所以的导数例2.求解:是的反函数,内单调,在由反函数求导法则连续且有导数且内有

2、在区间三.复合函数的导数设函数在点x可导,可导,在对应点在点x也可导,1.定理:则复合函数且特别地复合函数求导公式还可以写成下列形式:或或它可推广到多个中间变量的情形.则复合函数求导法则又叫链导法,若设2.例题例1.设(a,b为常数)求解:设的导数例2.求解:例3.,求解:,求例4。（u为任意实数）解:,求例5.解:同理：例6.,求解:由可得由可得求解:时，例7.时，不论x<0或x>0,例8.,求解:例9求解例10求求例11.解:注：幂指函数可用该题的方法求导例12证明：奇函数的导数是偶函数。偶函数的导数是奇函数，求注：例13.解:证明：为偶函数即所以是奇函数;同理可

3、得设奇函数的导数是偶函数。四.隐函数的导数只要将的两端对求导数,的导数为了求出隐函数由确定为的隐函数导数例1求由方程确定的隐函数在的解：两边对求导由得即得出用及表示的导数把看成的函数,然后再解出,例2其中是可导函数解：两边同时对求导设由方程确定试求例3.设曲线C的方程是处的切线方程和法线方程。求C上一点用复合函数求导法得：解：在等式两边分别对x求导，y看作x的函数，如果参数方程(1)则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数。是平面上圆曲线的参数方程,确定y与x之间的函数关系,例如:五.由参数方程确定的函数的导数设函数由确定,求推导求函数的导数的方法及求导公式

4、具有单调连续的反函数设于是（1）所表示的函数可以看成由即下面讨论直接从参数方程（1）可导。且它满足反函数求导的条件，复合而成，由复合函数求导法则得：和在处切线及法线方程解:所求切线方程为法线方程为例1求曲线例2已知炮弹运动轨迹的参数方程为速度大小垂直分量解:水平分量求炮弹在任何时刻的运动速度的大小和方向当时此时速度的方向是水平的,即炮弹达到最高点.速度的方向即为弹道的切线方向,设倾角为再炮弹刚设出时(即)所求切线方程为即所求法线方程为即六.对数求导法求例1.解:在方程两端同时对x求导例2.求解:2）.由多个因式开方、乘方、乘和除构成的函数求导。对数求导法主要解决下面两

5、类函数求导问题1）.幂指函数求导数,