资源描述：
《概率统计.第七章 随机变量的数字特征课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多媒体教学课件DepartmentofMathematics概率论与数理统计主讲人：王东明2011年.秋学期1第七章随机变量的数字特征2第一节数学期望3一、数学期望的引入例在1000次重复试验中，离散型随机变量X取值为100有300次，取值为200有700次。问X取值的平均值是多少？X的分布为：4加权平均数的计算：随机变量的平均值：概率替换频率5二、数学期望的定义为随机变量X的数学期望.6补充说明：加权平均数：离散随机变量期望：连续随机变量期望：频率概率概率注：1)期望是均值的推广或更一般的形式。2)连续随机变量期望公式可由离散随机变量期望公式和定积分定义推出。789三、一维随机变
2、量的函数的数学期望10例4设随机变量X的分布为解：111213数学期望在解决实际问题中有着非常重要的应用，见下面的例子.14例8某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数公司每售出一台机器可获利1600元，若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。15解决方法：求随机变量函数的数学期望.关键：16公司每售出一台机器可获利1600元,若机器在售出1.2万小时之内出现故障，则予以更换，每台亏损1200元；若
3、在1.2到2万小时之内出现故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；若在使用2万小时以上出现故障，则用户自己负责。1718四、多维随机变量函数的数学期望19201x2y021五、数学期望的运算性质线性性质2223例11将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。这种方法称为分解随机变量法，是概率统计中典型、重要的一种解题方法。24例11将n个球随机放入M个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。古典概型25例12〔疾病检验问题〕在人数为N的人群中普查某种疾病，抽验N个人的血。方案①：分别检验；方案②：按k个人一组来检
4、验。〔注：若k个人的混合血液呈阴性，则每个人的血液都呈阴性；若k个人的混合血液呈阳性，则至少有一个人的血液都呈阳性。〕假设该疾病的发病率为p，且得病相互独立，问哪一种方案能够减少平均每个人检验的次数。解：按照方案①，每个人需要验血的次数都为1次；而按照方案②，每个人需要验血的次数X的分布列为26补充说明：27例13某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300，500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少货源,可以使平均收益最大？28例13某公司经销某种原料,根据历史资料表明
5、:这种原料的市场需求量X(单位：吨)服从(300，500)上的均匀分布.每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元；若积压1吨,则公司损失0.5千元。问公司应该组织多少货源,可以使平均收益最大？2930第二节方差与标准差31引例比较随机变量X、Y的期望尽管有相同的期望EX=EY,但Y的取值比X要分散，这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量的分布特征，还须进一步研究它的离散程度.注：X、Y的期望相同，但误差取值的波动性不同。对产品质量的稳定性,市场的波动性，投资的风险等问题的研究，都涉及到对随机变量分布的分散程度的研究。32我们最直接的想法是用Xi-E(X)表示离散程度,Xi-E(
6、X)称为离差，它的取值可正可负，且它的数学期望为0，因而不能用它的均值来衡量X对E(X)的离散程度，为了消除离差取值符号的影响，我们采用离差的平方[X-E(X)]2的均值来衡量X对E(X)的离散程度，由此引入“方差”的概念：33一、方差与标准差的定义34方差的常用计算公式：方差的定义式：35离散型和连续型随机变量的方差计算公式36离散型和连续型随机变量的方差计算公式37分布列与方差大小的关系：结论1：取值分布集中，方差较小；反之方差较大.38密度函数与方差大小的关系：结论2：密度函数图形较陡峭的方差较小；反之方差较大.39例2计算泊松分布的方差。解:泊松分布的分布律为40例3正态分
7、布的方差。41例4计算指数分布的方差。42二、方差的性质方差不具备线性性质.43例5计算二项分布的方差。二项分布的可加性注：直接利用二项分布律和级数的运算也可以求出二项分布的期望和方差。44注：本例是数理统计常用的一个重要结果，它体现了平均值的稳定性。45例7某人有一笔资金,可投入两个项目:房产和商业,其收益都与市场有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别是0.2,0.7和0.1。通过调查,该投资者认为投资房产的收益X(万元)和投资商业的收益Y(万
