《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节-PPT课件.ppt

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1、2021/8/51随机变量的数字特征一、数学期望、方差二、原点矩与中心矩三、协方差与相关系数四、切比雪夫不等式与大数定律基本内容：第三章2021/8/52引例1加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为其学分分别为,则称而为该生的加权平均成绩.第一节数学期望2021/8/53引例2.甲乙两名乒乓球爱好者球技相同，他们约定各出5元作为奖金进行比赛，每局中无平局，谁先赢四局则得奖金10元，当甲赢了3局，乙赢了2局时，因故要终止比赛。问这10元奖金如何分配才算合理公平。分析：设想如果比

2、赛再继续下去，会出现什么结果？甲最终所得可能为10元，可能0元，这是随机变量X且再比赛2局必能分出胜负，其结果不外乎4种情况：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙X010P1/43/4甲期望所得：0*1/4+10*3/4=7.5此分法不仅考虑已经比赛结果，而且还包括了再比赛下去的一种“期望”——数学期望（均值）.2021/8/541.随机变量的数学期望2021/8/551.离散随机变量的数学期望定义:设离散随机变量X的分布律为若级数绝对收敛注1ºEX是一个常数,它是一种加权平均.与一般的平均值不同,它从本质上体现了X取可能

3、值的真正的平均值.注2º级数绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.则X的数学期望（或均值）存在，记为E(X),即2021/8/56求数学期望E(X).解：X的概率函数为所以X的数学期望例1.设X服从Poisson分布2021/8/572021/8/58在区间[a,b]中任意插入n–1个分点把[a,b]分成n个小区间,各小区间长度2021/8/592.连续随机变量的数学期望定义:设连续随机变量X的概率密度为f(x),则X的数

4、学期望（或均值）存在，记为E(X),即绝对收敛若积分2021/8/510求此化合物的PH的数学期望E(X).例3.某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率密度是解：2021/8/511求数学期望E(X).解：X的概率密度为所以例4.设2021/8/5123.随机变量函数的数学期望(1)问题的导入XE(X)=数学期望g(X)数学期望g是连续函数,g(X)是随机变量,如:2X+1,X2等等.(一)一维随机变量函数的数学期望2021/8/513方法1(定义法):g(X)是随机变量,按照数学期望关键:由X的分布

5、求出g(X)的分布.难点:一般g(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.(2)随机变量函数数学期望的计算的定义计算Eg(X).2021/8/514定理设X是一个随机变量,Yg(X),则当X为离散型时,P(Xxk)pk,(k1,2,…);求E[g(X)]时,只需知道X的分布即可.当X为连续型时,X的密度函数为f(x).方法2(公式法):2021/8/515例5.某种商品每周的需求量X～U(10,30）,而商场每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每单位商品亏损100元;若供不应求,则可从

6、外部调剂供应,每单位商品获利300元.要使商场获得最大收益,问进货多少?设应进货量为a(10至30间的某数),收益为Y,解:则X的概率密度函数为故当a=23.33时,EY最大供不应求供大于求2021/8/516对于二维随机变量而言,其函数的数学期望计算方法可以类似得到.1.二维离散型情形(二)二维随机变量函数的数学期望设X,Y为二维离散型随机变量,ZgX,Y为二元函数,如果EZ存在,其中X,Y的联合概率分布为pij.2021/8/5172.二维连续型情形设X,Y为二维连续型随机变量,Zg

7、X,Y为二元连续函数,如果EZ存在,则其中X,Y的联合概率密度为fx,y.2021/8/518求窗口服务时间的数学期望例6.一快餐店，以Y1记顾客到达餐厅直至离开服务窗口的时间(以分计),以Y2记一顾客排队等待服务的时间.设Y1，Y2的联合概率密度为解：E(Y1-Y2).2021/8/519补充：2021/8/520二、数学期望的性质如：证:推广2021/8/521证：仅就连续随机变量情形2021/8/522例7.设盒中有25张形式各异的礼券，有人在盒中取10次，每次取一张，做放回抽样。设抽出的10

8、张礼券中包含X种不同式样,求X的数学期望E(X).解：设则有常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.2021/8/523内容小结一、掌握(数学)期望的定义1.离散随机变量X的期望(或均值)2.连续随机变量X的数学期望3.随机变量函数的数学期望设g(X)是随机变量X的实值函数，2021/8/524①离