相似矩阵与二次型课件.ppt

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1、第六节用配方法化二次型为标准型配方法初等变换法化二次型为标准型的方法很多。除正交变换法之外，本节我们将用例题来介绍常用的另一种方法——拉格朗日配方法。一、配方法利用配方法化二次型为标准型的要点是利用和的平方公式和两数平方差公式逐步消去非平方项并构选新平方项。例1解一般地，将二次型化为标准型时，原二次型中变量的的个数与标准型中变元的个数形式上不一定相等，这主要取决于二次型的秩。也就是二次型的秩即为标准型中所含变元的个数。显然，上例中二次型的秩为3，所以原二次型的标准型中含3个变量。为标准型，并求所用的可逆变换矩阵C.例2解例3如果二次型f中不含平方项，但有某个则先做一个可逆线性变换，使二次

2、型f出现平方项。解原二次型化为于是所求可逆变换矩阵为评注1、二次型的标准型中所含变元的个数与原二次型中变元的个数不一定相等。二次型的标准型中所含变元的个数都等于二次型的秩。2、由于配方的顺序不同，因此所用的可逆变换阵C也不同，或者说，由于化二次型f为标准型的方法不同，所以f的标准型也不同。即二次型的标准型不是唯一的。二、初等变换法对角阵，具体步骤是：用可逆线性变换化实二次型为标准型，就是找一个可逆矩阵，使为对角阵，相当于对对做一系列同种形式的行变换和列变换，将化为先求出二次型的矩阵，再构造矩阵，对作初等行变换，然后再对作同样的初等列变换，当子块化为对角阵时,子块也相应地化为。或者构造矩阵

3、，对作初等列变换，然后再对作同样的初等行变换，则当子块化为对角阵时，子块也相应的化为。例4用初等变换法将二次型化为标准型，并写出所作的可逆线性变换。解:第1列乘（-1）加到第2列第1列乘（-2）加到第3列第1行乘（-1）加到第2行第1行乘（-2）加到第2行第2列乘（-1）加到第3列第2行乘（-1）加到第3行注：上述方法中，由于所作可逆线性变换不唯一，所以标准型也不唯一。二、小结将一个二次型化为标准型，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求。如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用。正交变换

4、的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单。需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准型可能不相同，但标准型中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩。思考题化二次型为标准型，并写出所作的可逆线性变换。思考题解答解：由于所给二次型不含平方项，故令有或再令：得标准型：所用可逆线性变换为