线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换课件.ppt

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1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章先引进矩阵的初等变换,建立矩阵的秩的概念;然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充分条件和非齐次线性方程组有解的充分条件,并介绍用初等变换解线性方程组的方法.引例主要内容初等变换的定义两个矩阵的等价关系行阶梯形矩阵第一节矩阵的初等变换行最简形矩阵和标准形矩阵行阶梯形行最简形和标准形的比较初等变换的性质举例求逆阵的初等变换法一、引例矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.为引进矩阵的初等变换,先来分析用

2、消元法解线性方程组的例子.引例求解线性方程组①②③④(1)解①②③2(1)①②③④(B1)②-③③-2①④-3①②③+5②④-3②①②③④(B2)①②③④(B3)①②③④(B4)③④④-2③①-②-③②-③①②③④(B5)量,剩下的x3选为自由未知量,于是解得至此消元结束,且得到(1)的同解方程组(B5),(B5)是方程组(1)的所有同解方程组中最简单的一个,其中有4个未知量3个有效方程,应有一个自由未知量,由于方程组(B5)呈阶梯形,可把每个台阶的第一个未知量(x1，x2，x4)选为非自由未知令x

3、3=k(k为任意实数),则方程组的解可记作即换:在上述消元过程中,始终把方程组看做一个整体即不是着眼于某一个方程的变形,而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.其中用到以下三种变1)交换方程的次序;2)某一个方程乘以不等于零的常数;3)一个方程加上另一个方程的k倍.由于这三种变换都是可逆的,因此变换前的方和常数项进行运算,未知量并未参与运算.因此,若在上述变换过程中,实际上只对方程组的系数方程组的同解变换.程组与变换后的方程组是同解的,这三种变换都是记那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵初等变换.述三

4、种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.把方程组的上(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj).二、初等变换的定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(i)对调两行(对调i,j两行,记作rirj);(ii)以数k0乘以某一行中的所有元素(第i行乘以k,记作rik);(iii)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变换的定义.矩阵的初等行变换与初等列变换,统称初等变换.三、两个矩阵的等价关系1.定义如果矩阵

5、A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与B行等价,记作A~B;r如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与B列等价,记作A~B;c如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A~B.2.等价关系的性质(i)反身性A~A;(ii)对称性若A~B,则B~A;(iii)传递性若A~B,B~C,则A~C.数学中把具有上述三条性质的关系称为等方程组等价.价,例如两个线性方程组同解,就称这两个线性四、行阶梯形矩阵t1

6、,r),则(2)设矩阵有r个非零行,第i个非零行的第零行(元素全为零的行)的标号;(1)非零行(元素不全为零的行)的标号小于行阶梯形矩阵:1.定义满足下面两个条件的矩阵称为例如行阶梯形矩阵的特点:阶梯线下方的元素全为零;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.2.重要结论定理每一个矩阵都可以经过单纯的初等行单击这里开始阵.例子说明如何用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩这个定理我们不作证明,下面通过几个具体的变换化为行阶

7、梯形矩阵.五、行最简形矩阵和标准形矩阵定义一个行阶梯形矩阵若满足(1)每个非零行的第一个非零元素为1;(2)每个非零行的第一个非零元素所在列矩阵.其他位置的元素都为零,则称这个矩阵为标准形定义如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,的其他元素全为零,则称之为行最简形矩阵.定理任何矩阵都可经过单纯的初等行变单击这里开始下面我们还是通过例子来说明该定理.换化为标准形矩阵.换化为行最简形矩阵.任何矩阵都可经过初等变从上面的例子可见,任何矩阵经单纯的初等行一个属性,即矩阵的秩的概念.一个矩阵的标准形是唯一的,这反映了矩阵

8、的另形矩阵的方法不是唯一的,所得结果也不唯一.但换,则一定能化成标准形矩阵.将矩阵化为行阶梯不一定能化成标准形矩阵,如果再使用初等列变变换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但利用初等变换,把一个矩阵化为行阶梯形矩最简形矩阵.例可知,要解线性方程组只需把增广矩阵化为行阵和行最简形矩阵,是一种很重要的运算.由引六、初等变换的性质矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质