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1、能控性和能观性§3-6能控性和能观性的对偶关系一.线性系统的对偶关系两个系统:和若满足:则称系统Σ1和系统Σ2是互为对偶的。式中：x1,x2--------n维状态变量u1,u2--------各为r和m维控制矢量y1,y2--------各为m与r维输出矢量如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是∑2的模拟结构图，能控性和能观性***对偶系统的传递函数阵是互为转置的***对偶系统具有相同的特征多项式所以若∑1，∑2为单入单出（SI
2、SO）系统，那么有即和是等价的。能控性和能观性***对偶原理***若系统∑1＝（A1,B1,C1,）和∑2＝（A2,B2,C2,）互为对偶系统，则∑1的可控性等价于∑2的可观性；∑1的可观性等价于∑2的可控性。能控性和能观性§3-7状态空间表达式的能控标准型和能观标准型一.单输入系统能控标准型控制系统的能控标准型有两种形式，分别称之为能控Ⅰ型和能控Ⅱ型对于能控Ⅰ型∑c1（Ac1,bc1,Cc1）,其各矩阵的形式为：能控性和能观性对于能控Ⅱ型∑c2（Ac2,bc2,Cc2）,其形式为：注意Cc1中的βi与Cc2中的βi不是
3、同一数值。ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数，即：能控性和能观性∑c1（Ac1，Bc1，Cc1）和∑c2（Ac2，Bc2，Cc2）之所以称之为能控型，主要是这种形式的动态方程肯定是可控的。如对∑c1系统，可控判别阵
4、M
5、=1≠0，所以系统∑c1始终是可控的。系统∑c2也可类似证明。能控性和能观性能控Ⅰ型模拟结构图能控性和能观性能控Ⅱ型模拟结构图能控性和能观性定理:对一般动态方程如果系统是可控的，即Rank[b,Ab,…,An-1b]满秩，那么可以通过非奇异矩阵能控性和能观性的线性变换，将系统∑（A，
6、B，C）变换成可控Ⅰ型∑c1（Ac1，Bc1，Cc1），其中ai(i=0，1，2，…，n-1)是系统特征多项式的系数，即：能控性和能观性由可控Ⅰ型求系统传递函数是非常方便的，因为：能控性和能观性【例】已知系统∑（A,B,C,），其中：试求其可控II型。解：∴能控Ⅱ型为：能控性和能观性【例】已知系统∑（A,B,C,），其中：试求其能观I型和能观II型。解：能观判别阵满秩，所以系统可观。系统特征方程为：能控性和能观性所以根据定理，通过T01=N-1的线性变换，就可以得到系统能观Ⅰ型∑01（A01,B01,C01），其中：与前
7、面的结果比较，我们知道，同一系统的能控Ⅱ型∑02与能观Ⅰ型∑01是互为对偶系统。能控性和能观性同样根据定理，通过的线性变换，就可以得到能观Ⅱ型∑02（A02,B02,C02），其中：能控性和能观性例3-15设线性定常系统如下,判别其能控性,若不是完全能控的,试将该系统按能控性进行分解.解:系统的可控性判别阵所以系统是不完全能控的.能控性和能观性取:则变换后的系统状态方程
