抽象函数性质研究.ppt

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1、抽象函数的性质研究我们将没有具体给出函数解析式但给出某些函数特性或相应条件的这类函数称为抽象函数。近几年来连续在高考题中出现抽象函数问题（如2001年高考题第（22）题）。这类问题抽象性较强，灵活性大。解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹。一.求定义域例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为。例2.已知函数f（x-1）的定义域是[

2、-1，1]，则函数f(x+1)的定义域是。-3≤x≤-1分析：因为x+1和x-1相当于f（x）中的x，所以解得说明：这类问题只要紧紧抓住复合函数的特点：即将函数f[g（x）]中的g（x）看作f（x）中的x这一特性，问题就会迎刃而解。二.周期性问题与求函数值1.若f(x+2)=－f(x)对一切x恒成立，则周期为若f(x+2)=－对一切x恒成立，则周期为2．已知函数f(x)(x∈Z)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1),则f(x)是周期为的周期函数；如：已知定义在Z上的函数f(x)对任意x∈Z都有f(x+199

3、6)=f(x+1995)+f(x+1997)成立，f(x)是周期为的函数.66443．设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足：f（x+2）=－f（x），当0≤x≤1时,f(x)=x则f（7.5）等于()（A）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.54.设函数f（x）对任意,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),已知f（1）=2，求f（分析：由知同理可得分析：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故5.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称。求证：f（x）是周期函数。f（x）=f（1

4、+1－x），即f（x）=f（2－x），x∈R又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R∴f（－x）=f（2－x）将上式中－x以x代换，得f（x）=f（x+2）.三.判断函数奇偶性对称性1.已知函数y=f(x)，(x∈R)，若f(2+x)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线对称。2.已知函数y=f(x)，(x∈R)，则y=f(2+x)与y=f(2-x)的图象关于直线对称。X=2X=03.设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0

5、.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。分析:令x=y=0,2f(0)=2f(0),2由f（0）≠0知f（0）=1令x=0,4．函数y=f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(-x)，若方程f(x)=0恰好有4个不同的实根、则这些实根之和为（）。（A）0；（B）2；（C）4；（D）8。xy

6、2x1x2x3x4D四．单调性问题1．已知函数f(x)定义域为R，且满足任意x∈R，f(x＋2)=－f(x),又x∈[4,6]时，f(x)单调递增，试比较f(ln4)与f(ln2)的大小。2．设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在[0，1)上是增函数，又f(a-2)-f(4-a2)＜0,求实数a的范围。3.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。分析：（1）.

7、因为a＞b，所以a-b＞0，由题意得＞0，所以f（a）+f（－b）＞0，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）=－f（b），故f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，又＜0，得故＜所以k＜令t＝,所以k＜t+，而t+≥2，即k＜2－1说明：这类问题一般有两种形式：1.用单调性的定义证明。2.利用单调性有关性质解抽象不等式。