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1、第四章矩阵的特征值与特征向量第一节矩阵的特征值与特征向量概念性质一.特征值与特征向量的基本概念1.定义:设A为n阶方阵，如存在一个数λ以及一个非零n维列向量X，使得AX＝λX(1)则称λ是A的特征值,向量X称为A的属于特征值λ的特征向量.∵λX–AX＝λIX–AX=(λI–A)X∴(1)式等价于方程组(λI–A)X=0(2)所以λ是特征值,即方程组(2)有非0解,即有
2、λI–A
3、=0(3)(3)式称为A的特征方程,方程组(2)的非0解向量是特征向量.求n阶矩阵A的特征值、特征向量的步骤：(1)解特征方程
4、λI－A
5、＝0，得特征值λ＝λ1,λ2,…,λs(2)对于每个λ
6、求方程组（λI－A）X＝0的非零解x,可得每个特征值λ对应的特征向量.例:求矩阵A的特征值和特征向量,即两个特征值λ1=1,λ2=-5,当λ=1时,方程组(λI－A)X＝0为基础解系为则λ＝1的特征向量为：k1ν1(k1为实数,且k1≠0)解:特征方程为:当λ=-5时方程组（λI－A）X＝0为:基础解系为则λ＝1的特征向量为：k2ν2(k2为实数,且k2≠0)例:求矩阵A的特征值和特征向量,解:特征方程为:因此特征值λ1＝2λ2＝4当λ＝2时方程组（λI－A）X＝0为其基础解系为:则λ＝2的特征向量为：k1ν1(k1≠0)当λ=4时方程组（λI－A）X＝0为其基础解系
7、为:则λ＝2的特征向量为：k2ν2(k2≠0)解：特征方程为：因此特征值λ1＝1λ2＝-2当λ＝1时方程组（λI－A）X＝0为其基础解系为：例：求矩阵A的特征值和特征向量其基础解系为：则λ＝－2的特征向量为：k3v3(k3≠0)则λ＝1的特征向量为：k1v1+k2v2(k1,k2不同时为零)当λ＝－2时，方程组（λΙ－A）X＝0为二、特征值与特征向量的基本性质性质1对于任一n阶矩阵A必有n个特征值（包括重根）。因为特征方程
8、λI－A
9、＝0为n次多项式方程，它必然有n个复数根（包括重根）。性质2设x1,x2,…,xs是A的属于特征值λ的s个特征向量，则x1,x2,…,x
10、s的线性组合形成的非零向量也是λ的特征向量.证明：∵x1,x2,…,xs是A的特征值λ的s个特征向量∴Axi=λXi(i=1,2,…)∴可得A(k1X1+k2X2+…+ksXs)=λk1X1+λk2X2+…+λksXs=λ(k1X1+k2X2+…+ksXs)∴k1X1+k2X2+…+ksXs是A的属于λ的特征向量.性质3设X同时为特征值λ1,λ2的特征向量，则必有λ1＝λ2证明：由题意得AX=λ1XAX=λ2X因此有λ1X＝λ2X可得（λ1－λ2）X＝0又X是非零向量，所以必有λ1＝λ2性质4A的转置矩阵AT与A有相同的特征值。证明：因为
11、λI－A
12、＝
13、（λI－A）T
14、
15、＝
16、λI－AT
17、即是AT与A有相同的特征方程，因此，AT与A有相同的特征值.性质5n阶矩阵A的互不相同的特征值λ1,λ2,…,λs所对应的特征向量X1,X2,…,Xs线性无关。证明：用数学归纳法（i）当s=1时,x1是非零向量,所以x1线性无关.命题成立.（ii)假设对s-1命题成立，即x1,x2,…,xs-1线性无关。下证对s命题也成立,即是x1,x2,…,xs线性无关。设k1x1+k2x2+…+ksxs=0(1)(1)式两边左乘A，再利用Axi=λxi得k1λ1x1+k2λ2x2+…+ksλsxs=0(2)(1)乘λs－（2）得k1(λs-λ1)x1+k2(λs
18、-λ2)x2+…+ks-1(λs-λs-1)xs-1=0又x1,x2,…,xs-1线性无关，则有ki(λs-λi)=0(i=1,2,…,s-1)由于λs≠λi（i=1,2,…,s-1）则有ki=0(i=1,2,…,s-1),代入(1)得ksxs=0,则可得ks=0(因为xs为非零向量)即有k1=k2=…=ks=0因此x1,x2,…xs线性无关.由（i）、（ii）命题成立假定是n阶矩阵的n个特征值,则性质6这是一个关于的多项式。特别地，它含有此项：=n-（a11+…+ann）n-1+…+（-1）na11…ann（-a11）…（-ann）注意：此行列式的其他展开
19、项中不会再包含的n和n-1次项。故此行列式是n次多项式，且注意到λ=0时，为
20、-A
21、，设此多项式为f(λ)比较得：分析：例：设λ是n阶矩阵A的一个特征值，证明：aλ2+bλ+c是aA2+bA+cI的一个特征值。证明：因为λ是A的特征值，所以存在非零n维向量X有AX＝λX令B＝aA2+bA+cI,则BX＝（aA2+bA+cI）X＝aAλX+bλX+cX＝aλ2X+bλX+cX＝（aλ2+bλ+c）X所以aλ2+bλ+c是B＝aA2+bA+cI的特征值.（3）当
22、A
23、≠0时，A与A-1的特征值互为倒数。（4）当是A的特征值时，2，3，…，k就分
