中考数学专题复习练习：圆和圆的位置关系.doc

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1、例已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?解：设大圆半径R=5x∵两圆半径之比为5:3，∴小圆半径r=3x，∵两圆内切时圆心距等于6，∴5x-3x=6，∴x=3，∴大圆半径R=15，小圆半径r=9，当两圆圆心距dl=24时，有dl=R+r，∴此时两圆外切；当两圆圆心距d2=5时，有d2

2、同心圆．说明：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力．考察数形结合能力．例已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距．解：分两种情况：（1）如图1，设⊙O1的半径为r1=5cm，⊙O2的半径为r2=4cm．圆心Ol，02在公共弦的异侧．∵O1O2垂直平分AB，∴AD=．连O1A、O2A，则．．（cm）．（2）如图2，圆心Ol，02在公共弦AB的同侧，同理可求01D=4cm，02D=（cm）．（cm）．说明：①此题为基本题目；②此题未给出图形，所以应分两种情

3、况求解；若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧．例（武汉市，2002）已知：如图，⊙O和⊙O1内切于A，直线OO1交⊙O于另一点B，交⊙O1于另一点F，过B点作⊙O1的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB垂足为E．求证：(1)CD＝DE；(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．证明：（1）连结DF、AD，∵AF为⊙O1的直径，∴FD⊥AD，又DE⊥AB，∴∠DFE=∠EDA，∵BC为⊙O1的切

4、线，∴∠CDA=∠DFE，∴∠CDA=∠EDA，连结AC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，又AD公共，∴Rt△EDA≌Rt△CDA，∴CD＝DE．（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立．证法同（1）．说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题．例（宁波市，2002）如图，⊙O’经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO’交⊙O于点Q、D，交⊙O’于点P，交EF于点C且EF=，sin∠P=．(1)求证：PE是

5、⊙O的切线；(2)求⊙O和⊙O’的半径的长；(3)点A在劣弧上运动(与点Q、F不重合)，连结PA交于点B，连结BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y．求y关于x的函数关系式．证明：（1）连结OE，∵OP是⊙O’的直径，∴∠OEP=90°，∴PE是⊙O的切线．（2）设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’．∵⊙O与⊙O’交于E、F，∴EF⊥OO’，．∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE．∴sin∠OEC=sin∠OPE=，∴sin∠OEC=，即r，，得r=4．在Rt△POE中，sin∠OP

6、E=，∴r’=8．（3）按题意画图，连结OA，∵∠OEP=90°，CE⊥OP，∴PE2=PC·PO．又∵PE是⊙O的切线，∴PE2=PB·PA，∴PC·PO=PB·PA，即，又∵∠CPO=∠APO，∴△CPB∽△APO，∴，∴BC=60/PA．由相交弦定理得BC·CG=EC·CF，∴BC=15/CG，∴PA=4CG，即y=4x（）．说明：此题为综合题目，主要应用：切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识．典型例题五例两圆的半径分别是方程的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆

7、的位置关系是（）（A）外离（B）外切（C）内切（D）相交解：∵方程的两根分别为1和2，而两圆的圆心距是3，∴两圆的半径之和等于圆心距，∴两圆的位置关系是外切，故选B．说明：本题利用两圆的半径的和或差与圆心距的数量关系判定两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，则（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含．典型例题六例若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆的位置关系是（）（A）相交（B）内切（C）内含（D）不能确定解：∵两圆的圆心距小于两圆的半径之和，

8、根据两圆的半径之和或差与圆心距的数量关系可知，两圆的位置关系可能是相交、内切或内含，∴位置关系不能确定，故选D．说明：根据两圆的五种位置关系，进行正确判定．典型例题七例两圆的半径之比为1：2，当两圆外切时，圆心距是6cm；当两圆内切时，圆心距为（）（A）2cm（B）3cm（C）4cm（D）5cm解：由题意，设两圆的半径分别为r和2r．∵两圆外切时，圆心距是6cm，（cm）．∴两圆的半径分别为2cm和4cm，∴当两圆内切时，圆心距是（cm），故选A．说明：