中考数学专题复习练习：勾股定理的逆定理.doc

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1、例01．在中，，，为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？解答：∵，，∴边为三角形的最大边，又∵，，∴根据勾股定理的逆定理可知，为直角三角形.说明：三角形的三边分别为，，，其中为最大边.（1）若，则三角形是直角三角形；（2）若，则三角形是锐角三角形；（3）若，则三角形是钝角三角形；例02．如图所示，在正方形ABCD中，F为AD上一点，且，E是CD的中点.求证：.分析：要证，可证，即证的直角三角形，由勾股定理的逆定理，可证，可通过在直角三角形BCE，直角三角形EDF，直角三角形BAF中分别计算出BE，EF，

2、BF的长.证明：连结BF，设正方形ABCD的边长为，则，，在直角三角形BCE中，.在直角三角形EDF中，，在直角三角形ABF中，，由勾股定理的逆定理可知：为直角三角形，且BF为最大边∴∴说明：证明某个三角形中的两条边垂角，而三条边的长度为已知，则常用勾股定理的逆定理来证明该三角形为直角三角形.例03．如图所示，中，，AD是中线，，垂足为E，求证：.分析：要证，由于AE，AC，BE三条边不在同一个三角形中，因此无法用勾股定理的逆定理来证明，根据题意我们可以将BE用AE，AC表示出来即可，这样有.所以只要证明

3、：，即证明，∵在直角三角形AED中，，在直角三角形ACD中，∴，本题即获解决证明可由读者自己完成例04．已知、、为的三边，且满足.求证：这个三角形是直角三角形.分析：要证明是直角三角形，应从它的三边、、入手，如果有关系或或成立，那么这个三角形一定是直角三角形.从已知条件，可以求出、、的长.解答：由已知得：.∴即∵∴，即∵，即有，∴是直角三角形.说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从

4、而求出边长或边长之间的关系，进而判断.典型例题分析例1如果一个三角形的三边长分别为，则这三角形是直角三角形分析：验证三边是否符合勾股定量的逆定理证明：∵∴∵∠C＝说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．例2　　已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积分析：我们不知道这个四边形是否为特殊的四边形，所以将四边形分割为两个三角形，只要求出这两个三角形的面积，四边形的面积就等于这两个

5、三角形的面积和．解：连结AC∵∠B＝，AB＝3，BC＝4∴∴AC＝5ABCD∵∴∴∠ACD＝说明：求四边形的面积问题转化为两个三角形的面积问题，在此利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．例3　如图，已知：CD⊥AB于D，且有ABDC求证：△ACB为直角三角形分析：根据勾股定理的逆定理，只需证即可证明：∵CD⊥AB∴　又∵∴∴△ABC为直角三角形说明：充分利用勾股定理及其逆定理填空题（1）若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是______三角形.（2）若在中，，则______.（3）

6、若一个三角形的三边长分别为，当_____时，此三角形是直角三角形.（4）若一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么是_____三角形.参考答案：（1）直角（2）（3）2（4）直角选择题（1）在中，，那么是（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）三边都不相等的直角三角形（D）等腰直角三角形（2）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）（A）5，6，7（B）10，8，4（C）7，25，24（D）9，17，15（3）一个三角形的三边长分别为20，15，25，那么它的最长边上的高是（）（A）（B）12

7、（C）（D）9（4）在中，D是BC上一点，若，则的面积是（）（A）30（B）42（C）84（D）100参考答案：（1）D（2）C（3）B（4）C解答题1．如图，在四边形ABCD中，，，且.求：四边形ABCD的面积.2．在中，，求BC边上的高AE的长.3．已知：中，，，BC边上的中线.求证：为等腰三角形.4．已知：在中，，AD是的平分线，交BC于D，，.求AC的长和三角形ABC的面积.5．在中，，且.求证：.6．如图，已知：正方形ABCD的边长为4，E是DC的中点，F是BC边上的一点，且.求证：是直角三角形

8、.7．若三角形ABC的三边、、满足条件，试判断的形状.参考答案：1．解：连结AC，则因，∴∴，即.∴2．解：由条件可知：∴，.∴.3．解：AD为中线，∴，则在中有，，∴，∵AD既为中线又为高，∴是等腰三角形.4．解：按题意，如图，作，垂足为E，则有.∴.设，则，有，即，解得，∴AC长为，三角形ABC的面积为.5．证明：∵，∴为直角三角形，其中，又因，∴，即一直角边为斜边的一半，∴，∴，∴.6．设，则，，∴，，，∴，∴为直角三角