微分方程模型及软件求解课件.ppt

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1、微分方程模型及软件求解河南科技大学数学与统计学院在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3

2、）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。微分方程模型古尸的年代鉴定问题放射性核废料处理问题流入--流出问题人口问题生物种群模型兰彻斯特（Lanchester）作战模型在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，　　与　　的比例仅仅是活组织内的6.24%

3、，能否判断此人生活在多少年前？一古尸年代鉴定问题年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。背景宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的。从古至今，碳不断产生，同时其本身又在不断的放出射线而裂变为氮。大气中处于动态平衡状态，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，　的数量与稳定的　　的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。基本原理从星际空间射到地球的射线裂变速率与剩余量成正比。Kc

4、14=1/8000设t为死后年数，建立模型年代测定方法的基本原理；放射性元素衰变规律。注意：以前，美国原子能委员会把浓缩的放射性废料装入密封的圆桶里，然后扔到水深为300英尺的海里。生态学家和科学家提出：圆桶是否会在运输过程中破裂而造成放射性污染？美国原子能委员会：不会破裂（用实验证明）。又有几位工程师提出：圆桶扔到海洋中时是否会因与海底碰撞而破裂？美国原子能委员会：决不会。二放射性核废料处理问题圆桶与海底的碰撞时的速度会不会超过40英尺/秒？若圆桶与海底碰撞时的速度超过40英尺/秒时，就会因碰撞而破裂。这几位工程师通过大量的实验证明:通过建

5、立数学模型来解决这一问题。1一些参数及假设：假设圆筒下沉时，所受海水的阻力与其速度成正比，即受力分析：xyGfo2建模与求解根据牛顿第二定理可解得：极限速度为：将速度v看成位置y的函数v(y)，由于代入：得其解为：仍未解出v是y的显函数。由近似公式3结论：若圆桶与海底的碰撞速度超过40英尺/秒，会因碰撞而破裂。这一模型科学的论证了美国原子能委员会过去处理核废料的方法是错误的。现在美国原子能委员会条例明确禁止把低浓度的放射性废物抛到海里，改为在废弃的煤矿中修建放置核废料的深井。我国政府决定在甘肃、广西等地修建深井放置核废料，防止放射性污染。4注

6、意：求解过程方程变形，近似计算一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为，h为水的高度，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。通过解决此问题想到什么？三流入--流出问题BA第一步列方程等量关系：水面1水面2设时刻的水面高度为时的水面高度为时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离初始条件可分离变量的方程。第二步解方程得水面高度与时间的函数关系为水流空所需时间为(令h=0)思考2：单位人员管理问题合理安排进人速度和出人速度，

7、使得单位人员的利用率达到最高。思考3：单位资金管理问题当收入资金速率一定时，合理安排支出，使得在某段时间内资金积累达到所需要求。思考1：某大楼人员的安全疏散问题1大楼所容纳的人数全部走出所用的时间？2两大因素：人走出的速度？出口的设置？思考4：森林管理问题主要协调植树和用材的关系，使得森林发挥其应有的作用。思考5：渔业管理问题每年捕捞的速率控制在多少时，既能保持持续发展，还能有较大的收获量。思考6：交通管理问题等四人口模型简单模型Malthus模型Logistic模型人口问题问题的提出人口、工业化的资金、粮食、不可再生资源、环境污染是人类在地

8、球上生存所面临的五大问题，而人口问题是这五大问题之首。人口在不断的增长，其增长有无规律可循？目标：预测人口发展趋势；控制人口增长。建模准备资料报告，公元前世界人口已