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《固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二节费米分布和自由电子气体的热性质一化学势和费米能量随温度的变化二电子比热1.2.1化学势和费米能量随温度的变化T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克分布函数,亦即费米分布函数.一、费米---狄拉克分布（费米分布函数）1.表达式：是N电子热力学体系的化学势显然，如果对于N电子系统，则有：2.物理意义费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数.亦即：费米分布函数对所有
2、量子态求和等于系统中总电子数。考虑到金属中自由电子数目极多，其能量状态是准连续分布的，所以，上式的求和可以改为对能量的积分：这里g()就是单位体积的能态密度，且基态时自由电子的能态密度公式在这里仍然适用.当费米分布函数取1时，恰好对应的就是基态的情形.有时称上式为归一化条件费米分布函数表达式中的是体系的化学势,它的意义是在体积和温度不变的条件下,系统增加或减少一个电子时所增加或减少的能量.上面的积分不容易得到,为此下面首先给出费米分布函数的特点,然后再讨论化学势的计算.化学势可由下式确定：3.费米分布函数的特点1)由费米分布函数表达式和它的物理意义可知:特别是当T=0K时亦即,≤μ时
3、的所有状态都被占据,而>态上电子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米能量相等.此外,由于热激发能远小于基态费米能.因而,激发态系统增加或减少一个电子时所增加或减少的能量,即化学势µ和费米能量相差不多.从而对化学势和费米能级F不加以区分.因此,很多的固体书中把费米分布函数表示为：i2)由上面的图示可以看出，当T>0K时，费米分布函数有随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变宽,但在任何情况下,此能量范围约在kBT范围内,且随T0K而无限地变窄。3)是关于（-）的偶函数，而且
4、具有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值.即该特点可由下式得出：偶函数源于把上式用-(-)替换后不变；函数源于费米分布函数远离化学势时为零。4.化学势随温度的变化化学势的计算要由下式积分确定，式中，g()为自由电子费米气体单位体积的能态密度费密分布函数的上述特点是我们讨论自由电子费密气体的化学势随温度变化，以及电子对比热的贡献的基础。上面的积分并不容易，涉及到费米统计中常遇到的积分形式,称为费米积分：下面利用分部积分法求解费米积分(利用分步积分)分部积分法：0因为：将展开式代入积分式中,并把积分下限扩展到-∞，可得到：所以：考虑到函数的特点具有类似于函数的性
5、质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值.所以,上式的积分下限即使扩展到-∞也不会影响积分结果.同时,可将Q()在附近展开为泰勒级数.很显然，I0等于１，由于 为(-)的偶函数，因此I1=0。下面考虑I2令(-)/kBT=，则准确到二级近似，略去高次项得：取：则：I=n此外,我们已知,化学势和T0时的费米能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F附近展开，即此外,对于I=n有：由(1)式和（2）式我们还可以进一步得到代入下式，并只取到一级近似得（2）（1）从而有得到：将上面的两个式子代入对自由电子气体，有：从而可得自由电子化学势：整理得：这就是化学势与费米能通
6、常不加以区分的原因对于普通金属:室温下:因而化学势，在通常的温度下，有:通常把化学势看成是温度不等于零时的费米能所以,温度升高会导致费米能降低,亦即费米球半径随温度升高而略有变小.一、电子比热所以，欲求电子比热，需要求得单位体积自由电子费米气体的能量.u为单位体积自由电子费米气体的内能.1.2.2电子比热由热学的知识,我们知道,要计算自由电子费米气体的比热容，首先要得到金属中单位体积的自由电子费米气体的总内能与温度的关系，然后将内能对温度求微分即可.1.计算单位体积电子的能量自由电子气体在一般温度下单位体积的总能量（内能）为：这又是费米积分形式且我们已知上式近似为I=u采用和求化学势完全相
7、同的讨论，相当于此时取：和前面对应的有代入得到：其中为基态单位体积的内能，与温度无关.把化学势整理得：代入单位体积的总能量u中单位体积的总能量u分析：由于费米能级(2-10eV)远远大于热激发能(0.026eV),所以电子的热激发仅发生在费米面附近。参与热激发的电子数目约为：每个热激发的电子获得的能量约为：所以，温度T时单位体积内能约为：和较准确的计算差因子：有了自由电子气体单位体积的总能量u，则自由电子气的比热就可以求
