高考数学专题复习课件：8-8.ppt

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1、§8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离[考纲要求]能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分

2、别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【答案】A3．(教材改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．【答案】60°5．P是二面角αABβ棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角αABβ的大小为________．【答案】90°题型一　求异面直线所成的角【例1】(2015·四川)如图

3、，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．【解析】建立空间直角坐标系如图所示，【方法规律】用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练1如右图所示正方体ABCDA′B′C

4、′D′，已知点H在A′B′C′D′的对角线B′D′上，∠HDA＝60°.求DH与CC′所成的角的大小．题型二　求直线与平面所成的角【例2】(2017·郑州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：A1B⊥AC1；(2)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解析】(1)证明取AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且∠A1AC＝60°，所以△A1A

5、C为等边三角形，所以A1O⊥AC，又平面ABC⊥平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，所以AC1⊥BC.在菱形AA1C1C中，AC1⊥A1C，所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1.【方法规律】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练2(2016·课标全国Ⅲ)如图

6、，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．【方法规律】求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．跟踪训练3(2017·浙江台州中学模拟)三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.【解析】(1)证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而BC⊂平面PB

7、C，∴平面PAB⊥平面PBC.(2)方法一过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示，则∠EFA为BPCA的二面角的平面角．(1)证明：平面MBD⊥平面PAD；(2)若PA与平面PBD成60°角，当平面MBD⊥平面ABCD时，求点M到平面ABCD的距离．【解析】(1)证明因为BD＝2AD＝8，AB＝4，由勾股定理得BD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD.【方法规律】求点面距一般

8、有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．【解析】如图，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．【答案】C答题模板系