截长补短法教学内容.ppt

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1、截长补短法：是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．（1）截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等。（2）补短法：一般有两种方式——一种是将某短线段延长，使延长的一部分等于另一条已知的较短的长度，另一种是将某短线段直接延长至等于较长的线段。专题：全等三角形之巧添辅助线—截长补短法线段和差处理技巧无论是截长法还是补短法都是要将几条线段的和差问题转化为两条线段相等的问题，一般都要通过构造两个全等三角形来解决问题。例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平

2、分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。ＡＢＥＤＣＦ截长法在AB上截取一段AF等于AC或者等于BD全等三角形之巧添辅助线——截长补短法AC截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。ＡＢＥＤＣＦ截长法（1）在AB上截取AF=AC，连接EF全等三角形之巧添辅助线——截长补短法得到△ACE≌△AFE（2）证明BD=BF，即要证△BFE≌△BDE因此要证∠BFE=∠D

3、或者∠FEB=∠DEB例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。ＡＢＥＤＣＦ全等三角形之巧添辅助线——截长补短法证明：在AB上截取AF=AC，连接EF截长法1432在△ACF和△AFE中AC=AF∠1=∠2AE=AE∴△ACE≌△AFE（SAS）∴∠C=∠AFE又∵AC∥BD∴∠C+∠D=180°而∠AFE+∠BFE=180°∴∠BFE=∠D在△BFE和△BDE中∠BFE=∠D∠3=∠4BE=BE∴△BFE≌△BDE（AAS）∴BF=BD∵AB=AF+BF∴AB=AC+BD∵AE平分∠CAB，EB平分∠DBA∴∠

4、1=∠2，∠3=∠4也可以在AB上截取BF=BD例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。ＡＢＥＤＣ补短法全等三角形之巧添辅助线——截长补短法Ｆ补短法：一般有两种方式——一种是将某短线段延长，使延长的一部分等于另一条已知的较短的长度，另一种是将某短线段直接延长至等于较长的线段。延长AC至F，使CF=BD或使AF=AB例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。补短法全等三角形之巧添辅助线——截长补短法ＡＢＥＤＣＦ（1）延长AC至F，使CF＝BD，连接EF要证

5、△CEF≌△DEB，再证△AEF≌△AEB（2）延长AC至F，使AF=AB，连接EF可得到△AEF≌△AEB，再证△CEF≌△DEB√例题如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。全等三角形之巧添辅助线——截长补短法ＡＢＥＤＣＦ证明：延长AC至F，使AF＝AB，连接EF∵AE平分∠CAB，EB平分∠DBA∴∠1=∠2，∠3=∠41432∴EF=EB∠F=∠3又∵∠3=∠4∴∠F=∠4∵AC∥BD∴∠FCE=∠D在△CFE和△DBE中∠FCE=∠D∠F=∠4EF=EF∴△CFE≌△DBE（AAS）∴CF=BD∵AF=AC

6、+CF∴AB=AC+BD在△AEF和△AEB中AF=AF∠1=∠2AE=AE∴△AEF≌△AEB（SAS）延长AC,BE相交于点F全等三角形之巧添辅助线——截长补短法练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N。（1）求证：∠1=∠2（2）求证：AE=CN+EN（请用多种方法证明）F截长法：在AE上截取AF，使AF=CN，可证得△ACF≌△CBN，从而得到CF=BN,再证△BEN≌△CEF，可得EN=EF.ABCNE12全等三角形之巧添辅助线——截长补短法练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=

7、CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N。（1）求证：∠1=∠2（2）求证：AE=CN+EN（请用多种方法证明）F补短法：过点Ｂ作BF⊥BC交CN的延长线于点F，可证得△CBF≌△ACE，从而得到AE=CF,再证△BEN≌△BFN，可得EN=FN.ABCNE12全等三角形之巧添辅助线——截长补短法练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N。（1）求证：∠1=∠2（2）求证：AE=CN+EN（请用多种方法证明）F补短法：过点B作BF⊥BC交EN的延长线于点F，可证得△BEF≌△