离散数学-第7讲-拉格朗日定理教案资料.ppt

《离散数学-第7讲-拉格朗日定理教案资料.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、离散数学（二）1拉格朗日定理陪集11拉格朗日定理2主要内容:陪集的性质重点:重点和难点:一、陪集陪集的定义：设为的子群，对任一aG，定义aH=aH={ah

2、hH},称为元素a关于H的左陪集a:左陪集aH的表示元素Ha=Ha={ha

3、hH},称为元素a关于H的右陪集a:右陪集Ha的表示元素例1：是的子群，则3I={3+i

4、iI}=I，4I={4+i

5、iI}=I2.5I={2.5+i

6、iI},3.4I={3.4+i

7、iI}3I=4I2.5I∩3.4I=Ø一、陪集定理1：设是群的子群,

8、aH和bH是任意二个左陪集,那么,或aH=bH或aH∩bH=Ø。思路：令命题P：aH∩bH=Ø命题Q：aH=bH要证P∨Q为真，即要证┐P→Q为真。即要证┐(aH∩bH=Ø)→aH=bH证明:假设aH∩bH≠Ø，我们证明aH=bH。设aH∩bH≠Ø,那么必存在一个公共元素f,有f∈aH∩bH,则存在h1,h2∈H,使f=ah1=bh2,因此a=bh2h1-1下面证明aH⊆bH：∀x∈aH,存在h3∈H使得x=ah3,因而x=bh2(h1)-1h3,根据H中运算的封闭性知h2(h1)-1h3∈H，所以x∈bH。同理可证bH⊆aH。因此aH=bH。

9、一、陪集定理2：设为的子群,则H的任意左陪集的大小(基数)是相同的。即对任意a,bG有aH=bH=H。证明:假设H={h1,h2,…,hm}，那么aH={ah1,ah2,…,ahm}。定义函数f:H→aH,对任何一hH，f(h)=ah。f:H→aH单射,对∀h1,h2∈H,若h1≠h2,则ah1≠ah2。f:H→aH为满射是显然的。因此f为双射，故aH=H得证。一、陪集定理3：设是群的子群,则H的所有左陪集构成G的一个划分。证明(1)证明H所有左陪集的并集为G。即∀a∈G，有由于H⊆G且G

10、对封闭可得，。下面证明。由可得(2)由定理1可知，G中两个元素的左陪集要么相等要么不相交。由(1)和(2)可得，H的所有左陪集构成G的一个划分一、陪集例2群的子群,H1=<{0,2,4},+6>,H2=<{0,3},+6>H1左陪集：0H1={0,2,4}1H1={1,3,5}2H1={2,4,0}3H1={3,5,1}4H1={4,0,2}5H1={5,1,3}H2左陪集：0H2={0,3}1H2={1,4}2H2={2,5}3H2={3,0}4H2={4,1}5H2={5,2}例3是的子群,其中H＝{[0],[2]},

11、则H的左陪集为：[0]H＝{[0]，[2]}＝[2]H＝{[0]，[2]}[1]H＝{[1]，[3]}＝[3]H＝{[1]，[3]}于是有{[0]H}∪{[1]H}＝{[0]，[1]，[2]，[3]}为N4的一个划分。二、拉格朗日定理定理4：(拉格朗日定理)设是有限群的子群,且

12、G

13、=n，

14、H

15、=m，那么m

16、n。说明：设H的不同左陪集有k个，那么n=

17、G

18、=k

19、H

20、=km推论1：质数阶的群没有非平凡子群。说明：<{e},*>和叫做群的平凡子群。推论2：在有限群中,任何元素的阶必是

21、G

22、的一个因子。说明：如果a∈G的

23、阶是r,则<{e,a,a2,…,ar-1},>是的子群。推论3：一个质数阶的群必定是循环的,并且任一与么元不同的元素都是生成元。二、拉格朗日定理设G={e,a,b,c}，Klein四元群满足下列条件：(1)e的阶为1，a,b,c的阶均为2；(2)a,b,c中任意两个元素运算的结果为第三个元素。推论4：任一四阶群，或为循环群C4，或为Klein四元群。证明：设G={e,a,b,c},其中e是幺元。根据拉格朗日定理可知元素阶只可能是1,2,4。(1)若G中有4阶元a则

24、a

25、=4,={e,a,a2,a3}≌C4(≌表示同构)。(2)若G中无4阶元素则G

26、中除了幺元,剩余的3个元素阶均为2,即a2=b2=c2=e。a*b不可能是a,b或e,否则将导致b=e,a=e或者a=b,产生矛盾。所以a*b=c,同样地有b*a=c及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此这个群是Klein四元群。二、拉格朗日定理四阶群仅有以下两个：<{e,a,b,c},*>五阶群仅有一个：<{e,a,b,c,d},*>循环群Klein四元群*eabcdeeabcdaabcdebbcdeaccdeabddeabc*eabceeabcaabcebbceacceab*eabceeabcaaecbbbceaccbae二、拉格朗日定理例3令A＝{1

27、,2,3}