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1、拉格朗日定理的若干应用数学计算机学院数学与应用数学2016届苗壮摘要本文介绍了群的定义以及抽象代数中拉格朗日定理的应用。由有限群子群的陪集与等价关系建立了群论中的拉格朗日定理，在这里被用来证明子群的阶和指数有关的问题。关键词：子群；陪集；等价关系；拉格朗日定理中图分类号：O153ApplicationsofLagrangeLawAbstractThedefinitionofrelatedgroupandtheapplicationofLagrangelawinabstractalgebraareintroduced.Thelatteringrouptheoryisbuilt
2、bythecosetandequivalentrelationoffinitesubgroup,andisutilizedtocertifythequestionabouttherankofsubgroupsandindexnumber.Keywordssubgroup;coset;equivalentrelation;Lagrangelaw目录1.引言12.群的基本定义与定理12.1群的定义12.2子群的定义和性质32.3子群的陪集42.4循环群53.等价关系与集合的分类63.1等价关系64.拉格朗日定理74.1拉格朗日定理74.2拉格朗日逆定理95.拉格朗日定理的应用9
3、5.1阶的证明95.2子群有关的证明105.3循环群的证明12参考文献13拉格朗日定理的若干应用1.引言群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占着重要的地位.拉格朗日根据预解方程的次数由原方程的根的置换的种数来决定,他用上述思想解决了四次方程解的问题，当他用这种思想解五次方程时，发现无法找到一个次数低于五次的预解方程.最后他意识到方程的公式解与根的置换有关，而一般n次方程（n>4）是不存在的.拉格朗日解决上述问题的思想就是：考虑一个有理函数当它的变量发生置换时所取值得个数.其本质就是置换群的概念，因此群论的思想是拉格
4、朗日提出来的.一个现在似乎很平凡的发现，实际上是一个很大的突破，对近视代数的发展具有里程碑式的意义，本文就从群论的定义出发，了解群以及拉格朗日定理.并叙述朗格朗日定理在证明子群和阶相关问题的应用.2.群的基本定义与定理2.1群的定义群的第一定义我们说，一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如a)1.G对于乘法来说是闭的;b)结合律成立，既对G中任意元素a，b，c都有abc=a（bc）;c)对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b都在G里有解.群的第二定义16我们说，G是一个非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如I.G对于乘法
5、来说是闭的;II.结合律成立，既对G中任意元素a，b，c都有abc=a(bc);III.G中有元素e，叫做G的左单元，它对G中每一个元素a都有ea=a;IV.对G中每个元素a，在G中都有a-1,叫做a的左逆元，使a-1a=e,则称G对乘法运算作成一个群.如果对群G中任二元素a,b均有ab=ba，既G的代数运算满足交换律，则称G为交换群（可换群）或Abel群;否则称G为非交换群（非可换群）或非Abel群.例2.1.1G是全体整数的集合.G对于普通加法来说作成一个群.证明两个整数相加还是一个整数;a+b+c=a+b+c;且a,b,为整数的时候，a+x=b,y+a=b有整数解;因
6、此G对普通加法来作成一个群.例2.1.2G为整数集.G对运算ab=a+b+4是否作成群？证明由于对任意整数a,b,显然a+b+4为由a与b唯一确定的整数，故所给运算.是G的一个代数运算.其次abc=a+b+4c=a+b+4+c+4=a+b+c+8.同理有abc=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c,有abc=a(bc),即代数运算.满足结合律.又因为对任意整数a均有-4a=-4+a+4=a，故-4是a的左单位元.因此，整数集G对代数运算ab=a+b+4作成一个群.例2.1.3设G是一个群，而u是G中任意一个固定的元素.证明：G对新运算16ab=aub也作成一个群.
7、证明新运算是G的一个代数运算.结合律abc=a（bc），即abc=aubc=aubuc=aubuc=a(bc)故结合律成立.又因为对G中任意元a有u-1a=u-1ua=a,（uau)-1a=u-1,故u-1是a的左单位元，（uau)-1是群G中a的左逆元，故G对新运算也作成群.2.2子群的定义和性质我们看一个群.加入由G里取出一个子集H来，那么利用G的乘法可以把H的两个元相乘.对于这个乘法来说，很可能也作成一个群.定义一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群.定理2.2.1一个群G的一
